optimalizáló algoritmus

• IPA:

optimalizáló algoritmus

1. (matematika, algoritmusok) Az optimalizáló algoritmusok célja egy adott probléma **legjobb megoldásának megtalálása** bizonyos feltételek és korlátok mellett. Ezeket az algoritmusokat széles körben alkalmazzák matematikai, mérnöki, gazdasági és informatikai problémák megoldására, például logisztikai, ütemezési és pénzügyi modellekben.

1. Klasszikus optimalizáló algoritmusok:

  - Matematikai alapokon nyugszanak.
  - Példák: Lineáris programozás, dinamikus programozás, gradiens-alapú módszerek.

1. Metaheurisztikus algoritmusok:

  - Heurisztikákon alapulnak, és nagy méretű problémák közelítő megoldásait keresik.
  - Példák: Genetikus algoritmusok, szimulált lehűlés, részecskeraj optimalizáció.

1. Kombinatorikus optimalizáció:

  - Diszkrét problémákra koncentrál.
  - Példák: Utazó ügynök probléma, jármű útvonaltervezési probléma.

1. Folytonos optimalizáció:

  - Folytonos változókkal dolgozik.
  - Példák: Gradiens-módszerek, Newton-módszer.

Cél egy lineáris célfüggvény minimalizálása vagy maximalizálása lineáris korlátok mellett.

Matematikai Formulázás: ${\displaystyle {\text{Minimize/Maximize }}c^{T}x}$ ${\displaystyle {\text{subject to: }}Ax\leq b,\quad x\geq 0}$

Python Implementáció:

from scipy.optimize import linprog

# Példa: Minimize: c^T x = x1 + 2x2
# subject to: x1 + x2 <= 3, x1 >= 0, x2 >= 0

c = 
A = ]
b = 

res = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b, bounds=(0, None), method='highs')
print("Optimal value:", res.fun)
print("Optimal solution:", res.x)

A célfüggvény lokális minimumát vagy maximumát iteratív módon keresi a gradiens mentén.

Matematikai Formulázás: ${\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-\alpha \nabla f(x_{k})}$

Python Implementáció:

import numpy as np

def gradient_descent(f, grad_f, x0, learning_rate=0.1, max_iter=100):
    x = x0
    for _ in range(max_iter):
        grad = grad_f(x)
        x = x - learning_rate * grad
    return x

# Példa: f(x) = (x - 3)^2
f = lambda x: (x - 3)**2
grad_f = lambda x: 2 * (x - 3)

result = gradient_descent(f, grad_f, x0=0, learning_rate=0.1)
print("Optimal point:", result)
print("Optimal value:", f(result))

Az evolúciós biológiából inspirált algoritmus, amely egy populációt fejleszt iteratívan szelekció, keresztezés és mutáció révén.

Python Implementáció:

import random

def genetic_algorithm(fitness_func, bounds, population_size=50, generations=100, mutation_rate=0.1):
    def generate_individual():
        return random.uniform(bounds, bounds)

    def mutate(individual):
        if random.random() < mutation_rate:
            return individual + random.uniform(-0.1, 0.1)
        return individual

    def crossover(parent1, parent2):
        return (parent1 + parent2) / 2

    population = 
    for _ in range(generations):
        population = sorted(population, key=fitness_func)
        next_generation = population  # Elitizmus
        while len(next_generation) < population_size:
            parent1, parent2 = random.sample(population, 2)
            child = crossover(parent1, parent2)
            child = mutate(child)
            next_generation.append(child)
        population = next_generation

    best_solution = min(population, key=fitness_func)
    return best_solution, fitness_func(best_solution)

# Példa: Minimalizáljuk az f(x) = (x - 5)^2 függvényt
result = genetic_algorithm(lambda x: (x - 5)**2, bounds=(0, 10))
print("Optimal point:", result)
print("Optimal value:", result)

Egy valószínűségi algoritmus, amely a hőmérséklet csökkentésével keresi a globális minimumot.

Python Implementáció:

import math
import random

def simulated_annealing(f, bounds, temp=1000, cooling_rate=0.99, max_iter=1000):
    current_solution = random.uniform(bounds, bounds)
    current_value = f(current_solution)
    best_solution = current_solution
    best_value = current_value

    for _ in range(max_iter):
        new_solution = current_solution + random.uniform(-1, 1)
        if bounds <= new_solution <= bounds:
            new_value = f(new_solution)
            delta = new_value - current_value
            if delta < 0 or math.exp(-delta / temp) > random.random():
                current_solution = new_solution
                current_value = new_value
                if new_value < best_value:
                    best_solution = new_solution
                    best_value = new_value
        temp *= cooling_rate

    return best_solution, best_value

# Példa: f(x) = (x - 3)^2 függvény minimalizálása
result = simulated_annealing(lambda x: (x - 3)**2, bounds=(0, 10))
print("Optimal point:", result)
print("Optimal value:", result)

1. Logisztika és ütemezés:

  * Jármű útvonaltervezés (VRP).
  * Gépgyártási folyamatok optimalizálása.

1. Pénzügy és gazdaság:

  * Befektetési portfólió optimalizálás.
  * Költségminimalizálás.

1. Mesterséges intelligencia:

  * Gépi tanulás paramétereinek finomhangolása.
  * Neurális hálózatok súlyozása.

1. Természettudományok és mérnöki tervezés:

  * Kémiai reakciók optimalizálása.
  * Szerkezetek tervezése.

• Sokféle probléma: Az algoritmusok alkalmazhatók különböző típusú problémákra.
• Rugalmasság: Metaheurisztikus algoritmusok bonyolult korlátok mellett is működnek.
• Könnyen implementálhatók: Számos optimalizációs algoritmus jól támogatott Python könyvtárakkal.

• Nem garantált optimalitás: Heurisztikus módszerek esetén nem biztos, hogy az optimális megoldást találjuk.
• Időigényesség: Nagy állapottér esetén az algoritmusok hosszú ideig futhatnak.

Az optimalizáló algoritmusok kulcsszerepet játszanak a modern tudományos és ipari alkalmazásokban. Pythonban a klasszikus matematikai optimalizációtól a metaheurisztikus megközelítésekig számos algoritmus könnyen implementálható. Az algoritmusok kiválasztása a probléma típusától, méretétől és komplexitásától függ.

• optimalizáló algoritmus - Értelmező szótár (MEK)
• optimalizáló algoritmus - Etimológiai szótár (UMIL)
• optimalizáló algoritmus - Szótár.net (hu-hu)
• optimalizáló algoritmus - DeepL (hu-de)
• optimalizáló algoritmus - Яндекс (hu-ru)
• optimalizáló algoritmus - Google (hu-en)
• optimalizáló algoritmus - Helyesírási szótár (MTA)
• optimalizáló algoritmus - Wikidata
• optimalizáló algoritmus - Wikipédia (magyar)