parciális derivált

• IPA:

parciális derivált

1. (matematika) A parciális derivált egy matematikai kifejezés, amely a többváltozós függvények deriválásának speciális esete. A parciális derivált egy adott változó szerinti változást méri, miközben a többi változót állandónak tekintjük. Ezt a fogalmat gyakran használják a többváltozós analízisben, a matematikai modellezésben és a különféle tudományos területeken, mint például a fizikában, a közgazdaságtanban és az informatikában.

Alapfogalmak

1. Többváltozós függvény: Egy függvény, amely több független változóval rendelkezik, például: $${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+3xy+y^{2}}$$ ahol ${\textstyle x}$ és ${\textstyle y}$ a független változók.

2. Parciális derivált definíciója: A parciális deriváltat a következőképpen jelöljük:

• Az ${\textstyle x}$ szerinti parciális derivált: $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$$
• A ${\textstyle y}$ szerinti parciális derivált: $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}}$$

3. Számítás: A parciális derivált számítása a szokásos deriválási szabályok alkalmazásával történik, figyelembe véve, hogy a többi változó állandó. Például: $${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+3xy+y^{2}}$$

• Az ${\textstyle x}$ szerinti parciális derivált: $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=2x+3y}$$
• A ${\textstyle y}$ szerinti parciális derivált: $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}=3x+2y}$$

Geometriai értelmezés

A parciális deriváltak geometriai szempontból a többváltozós függvény egy adott változó mentén való "lejtését" vagy "meredekségét" jelentik. A parciális deriváltak megmutatják, hogy a függvény hogyan változik, ha egyetlen változót módosítunk, míg a többi változót állandónak tartjuk.

Példák parciális deriváltakra

1. Egyszerű példa: Legyen a következő függvény: $${\displaystyle f(x,y)=x^{2}y+3y^{2}}$$

• Az ${\textstyle x}$ szerinti parciális derivált: $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=2xy}$$
• A ${\textstyle y}$ szerinti parciális derivált: $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}=x^{2}+6y}$$

2. Függvény három változóval: Legyen a következő függvény: $${\displaystyle g(x,y,z)=x^{2}+y^{3}+z}$$

• Az ${\textstyle x}$ szerinti parciális derivált: $${\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x}}=2x}$$
• A ${\textstyle y}$ szerinti parciális derivált: $${\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial y}}=3y^{2}}$$
• A ${\textstyle z}$ szerinti parciális derivált: $${\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial z}}=1}$$

Alkalmazások

1. Fizika: A parciális deriváltakat széles körben használják a fizikai törvények, például a hővezetési és elektromágneses egyenletek leírására.

2. Gazdaságtan: A gazdasági modellekben a parciális deriváltak segítségével vizsgálják a különböző tényezők hatását a gazdasági változókra.

3. Statisztika: A parciális deriváltakat a regressziós elemzések során használják a közelítések és optimalizálási problémák megoldására.

Összegzés

A parciális derivált egy alapvető fogalom a többváltozós analízisben, amely lehetővé teszi a matematikai modellek és fizikai jelenségek vizsgálatát, amikor a függvények különböző változókkal összefüggésben változnak. A parciális deriváltak hasznosak a bonyolult problémák megértésében és megoldásában a tudomány, a mérnöki munka és a gazdaság területén.

• angol: partial derivative (en)
• orosz: частная производная (ru) (častnaja proizvodnaja)

• parciális derivált - Értelmező szótár (MEK)
• parciális derivált - Etimológiai szótár (UMIL)
• parciális derivált - Szótár.net (hu-hu)
• parciális derivált - DeepL (hu-de)
• parciális derivált - Яндекс (hu-ru)
• parciális derivált - Google (hu-en)
• parciális derivált - Helyesírási szótár (MTA)
• parciális derivált - Wikidata
• parciális derivált - Wikipédia (magyar)