parciális differenciálegyenlet

• IPA:

parciális differenciálegyenlet

1. (matematika) A parciális differenciálegyenlet (PDE) egy olyan differenciálegyenlet, amelyben a keresett függvény több változós, és a függvény parciális deriváltjait tartalmazza. A parciális differenciálegyenletek kulcsszerepet játszanak a matematikai fizikában, a mérnöki tudományokban és más tudományágakban, ahol bonyolult rendszerek viselkedését kell modellezni.

Definíció

Legyen ${\textstyle u(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ egy ${\textstyle n}$ változós függvény. A parciális differenciálegyenlet általában a következő formában írható fel:

$${\displaystyle F\left(u,{\frac {\partial u}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial u}{\partial x_{2}}},\ldots ,{\frac {\partial u}{\partial x_{n}}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}},\ldots \right)=0}$$

ahol ${\textstyle F}$ egy adott függvény, amely a függvényt és annak parciális deriváltjait tartalmazza.

Típusai

1. Lineáris parciális differenciálegyenletek: Ezekben az egyenletekben a függvények és a deriváltak lineárisan jelennek meg. Példa: $${\displaystyle a{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+b{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+c{\frac {\partial u}{\partial x}}+du=f(x,y)}$$

2. Nem lineáris parciális differenciálegyenletek: Ezekben az egyenletekben a függvények vagy a deriváltak nem lineárisan szerepelnek. Példa: $${\displaystyle u{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0}$$

Példák

1. Laplace-egyenlet: $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0}$$ Ez egy elliptikus parciális differenciálegyenlet, amely a harmónikus függvényekre vonatkozik.

2. Hődiffúziós egyenlet: $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=k\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)}$$ Ez egy parabolikus parciális differenciálegyenlet, amely a hő vezetését modellezi.

3. Hullámegyenlet: $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$$ Ez egy hiperkbolikus parciális differenciálegyenlet, amely a hullámterjedést írja le.

Megoldási Módszerek

- Separation of Variables: A változók szétválasztásának módszere, amely lehetővé teszi a különböző változók külön-külön történő kezelését. - Fourier-sorok: A függvény Fourier-sorok segítségével való kifejezése. - Green-függvények: Speciális függvények, amelyek segítségével a határérték-problémák megoldhatók. - Numerikus Módszerek: Számítógépes algoritmusok, mint például a véges differenciál és véges elem módszer, amelyek a parciális differenciálegyenletek közelítő megoldására szolgálnak.

Alkalmazások

- Fizika: A parciális differenciálegyenletek a hőmérséklet, a nyomás és a elektromos mezők eloszlásának modellezésében használatosak. - Mérnöki Tudományok: A statikai és dinamika problémák, például szerkezeti elemzés és áramlástan. - Kémiai Kinetika: A reakciókinetika leírására és a diffúziós folyamatok modellezésére is alkalmazzák.

Összegzés

A parciális differenciálegyenletek a matematikai analízis és a tudományok fontos eszközei. Ezek az egyenletek lehetővé teszik bonyolult rendszerek viselkedésének modellezését és elemzését, és számos megoldási módszer áll rendelkezésre a különböző típusú parciális differenciálegyenletek kezelésére.

• angol: partial differential equation (en)
• francia: équation différentielle aux dérivées partielles (fr)
• német: partielle Differentialgleichung (de)
• orosz: дифференциальное уравнение в частных производных (ru) (differencialʹnoje uravnenije v častnyx proizvodnyx)

• parciális differenciálegyenlet - Értelmező szótár (MEK)
• parciális differenciálegyenlet - Etimológiai szótár (UMIL)
• parciális differenciálegyenlet - Szótár.net (hu-hu)
• parciális differenciálegyenlet - DeepL (hu-de)
• parciális differenciálegyenlet - Яндекс (hu-ru)
• parciális differenciálegyenlet - Google (hu-en)
• parciális differenciálegyenlet - Helyesírási szótár (MTA)
• parciális differenciálegyenlet - Wikidata
• parciális differenciálegyenlet - Wikipédia (magyar)