permutáció

• IPA:

permutáció

1. (matematika, kombinatorika) Az ${\displaystyle A}$ halmazon értelmezett permutáción egy ${\displaystyle A\to A}$ bijekciót értünk. (${\displaystyle A}$ halmaz önmagára vett bijektív leképezése) Feltesszük, hogy ${\displaystyle A}$ egy ${\displaystyle n}$-elemű halmaz valamely pozitív egész ${\displaystyle n}$-re. Az egyszerűség kedvéért jelöljük a halmaz elemeit ${\displaystyle 1,\ldots ,n}$-nel, azaz legyen ${\displaystyle A=\{1,2,\ldots ,n\}.}$ Az ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ halmazon definiált összes lehetséges permutációk halmazát ${\displaystyle S_{n}}$ jelöli.

• Ha ${\displaystyle \sigma ,\tau \in S_{n}}$ , akkor ${\displaystyle \sigma \tau \in S_{n}}$ . Azaz permutációk szorzata permutáció.

• Ha ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$ , akkor ${\displaystyle \sigma ^{-1}\in S_{n}}$ . Azaz permutációk inverze permutáció.

• ${\displaystyle (\sigma \tau )\eta =\sigma (\tau \eta )}$ minden ${\displaystyle \sigma ,\tau ,\eta \in S_{n}}$ -re, azaz a permutációk szorzása asszociatív.

• ${\displaystyle id\sigma =\sigma id=\sigma ,\quad \sigma \sigma ^{-1}=\sigma ^{-1}\sigma =id,\quad (\sigma \tau )^{-1}=\tau ^{-1}\sigma ^{-1},\quad (\sigma ^{-1})^{-1}=\sigma }$ minden ${\displaystyle \sigma ,\tau \in S_{n}}$ -re.

• ${\displaystyle \sigma \tau \neq \tau \sigma }$, tehát a permutációk szorzása nem kommutatív.
• Azt mondjuk, hogy a ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$ permutáció mozgatja az ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$ elemet, ha ${\displaystyle i\sigma \neq i}$. A ${\displaystyle \sigma }$ permutáció által mozgatott elemek halmazát ${\displaystyle M_{\sigma }}$ jelöli. Minden permutáció felbontható transzpozı́ciók szorzatára.

• angol: permutation (en)
• lengyel: permutacja (pl)
• orosz: перестановка (ru) (perestanovka)

• permutációcsoport