probability distribution

probability distribution (tsz. probability distributions)

1. (informatika) valószínűségi eloszlás

A probability distribution (valószínűségi eloszlás) egy matematikai eszköz, amely leírja, hogy egy véletlen változó milyen értékeket vehet fel, és ezekhez az értékekhez milyen valószínűségek tartoznak. Ez a fogalom az egész valószínűségszámítás és statisztikai modellezés alapja.

A véletlen változó egy olyan függvény, amely egy kísérlet minden lehetséges kimeneteléhez számértéket rendel. Például:

• Egy dobókocka eredménye: ${\textstyle X\in \{1,2,3,4,5,6\}}$

A valószínűségi eloszlás megmondja, hogy az egyes értékek milyen eséllyel fordulnak elő.

A változó véges vagy megszámlálható sok értéket vehet fel.

• Valószínűségeloszlás függvény (PMF – probability mass function)

$${\displaystyle P(X=x_{i})=p_{i},\quad \sum p_{i}=1}$$

📌 Példa:

• Dobókocka: ${\textstyle P(X=i)={\frac {1}{6}}}$
• Binomiális eloszlás

A változó valós számokat vehet fel egy tartományon.

• Sűrűségfüggvény (PDF – probability density function)

$${\displaystyle P(a\leq X\leq b)=\int _{a}^{b}f(x)dx,\quad \int _{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1}$$

📌 Példa:

• Normáleloszlás ${\textstyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$
• Exponenciális, Gamma, Beta eloszlás

Minden eloszláshoz tartozik egy F(x) függvény, amely megadja, hogy a változó értéke legfeljebb ${\textstyle x}$ legyen:

$${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)}$$

• Diszkrétnél: lépcsős függvény
• Folytonosnál: sima görbe, monoton növekvő, ${\textstyle F(-\infty )=0}$, ${\textstyle F(+\infty )=1}$

$${\displaystyle E=\sum x_{i}p_{i}\quad {\text{(diszkrét)}},\quad E=\int xf(x)dx\quad {\text{(folytonos)}}}$$

$${\displaystyle {\text{Var}}(X)=E=E-(E)^{2}}$$

Eloszlás	Paraméterek	Példa használat
Binomiális	${\textstyle n,p}$	Sikeres dobások száma
Poisson	${\textstyle \lambda }$	Ritka események
Geometriai	${\textstyle p}$	Első sikerig tartó próbák

Eloszlás	Paraméterek	Példa használat
Normál	${\textstyle \mu ,\sigma }$	Mérések hibája, IQ
Exponenciális	${\textstyle \lambda }$	Várakozási idők
Weibull	${\textstyle k,\lambda }$	Élettartam-analízis
Uniform	${\textstyle a,b}$	Egyenletes véletlen

Érték:       1   2   3   4   5   6
Valószínűség:1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Haranggörbe, szimmetrikus, csúcs az átlagban.

• Szimuláció: Monte Carlo, gépi tanulás
• Statisztikai modellezés: regressziók, tesztek
• Kockázatelemzés: pénzügy, biztosítás
• Adatgenerálás: véletlen mintaértékekkel (random variates)

A PMF konkrét érték valószínűségét adja, a PDF viszont csak sűrűséget – a valódi valószínűség egy tartomány integrálja.

#include <iostream>
#include <random>

int main() {
    std::random_device rd;
    std::mt19937 gen(rd());

    // Normáleloszlás N(0, 1)
    std::normal_distribution<> norm(0.0, 1.0);

    // Binomiális eloszlás n=10, p=0.5
    std::binomial_distribution<> binom(10, 0.5);

    std::cout << "Normál variate: " << norm(gen) << "\n";
    std::cout << "Binomiális variate: " << binom(gen) << "\n";

    return 0;
}

• probability distribution - Szótár.net (en-hu)
• probability distribution - Sztaki (en-hu)
• probability distribution - Merriam–Webster
• probability distribution - Cambridge
• probability distribution - WordNet
• probability distribution - Яндекс (en-ru)
• probability distribution - Google (en-hu)
• probability distribution - Wikidata
• probability distribution - Wikipédia (angol)