statistical mechanics

statistical mechanics
Thermodynamics Kinetic theory
Particle statistics Spin–statistics theorem Indistinguishable particles Maxwell–Boltzmann Bose–Einstein Fermi–Dirac Parastatistics Anyonic statistics Braid statistics
Thermodynamic ensembles NVE Microcanonical NVT Canonical µVT Grand canonical NPH Isoenthalpic–isobaric NPT Isothermal–isobaric
Models Debye Einstein Ising Potts
Potentials Internal energy Enthalpy Helmholtz free energy Gibbs free energy Grand potential / Landau free energy
Scientists Maxwell Boltzmann Helmholtz Bose Gibbs Einstein Dirac Ehrenfest von Neumann Tolman Debye Fermi Synge Ising Landau
v t e

statistical mechanics (tsz. statistical mechanicses)

1. (informatika) A statisztikus mechanika a fizika egyik alapvető ága, amely a mikroszkopikus részecskék (atomok, molekulák) viselkedésének statisztikai módszerekkel való leírásán keresztül próbálja megérteni és levezetni a makroszkopikus fizikai tulajdonságokat (mint például nyomás, hőmérséklet, energia, entropia). Ez a tudományág képezi az átmenetet a mikrofizika (klasszikus és kvantummechanika) és a termodinamika között.

Egy rendszer mikroszkopikus állapotát (ún. mikroállapotát) az összes benne lévő részecske pozíciója és sebessége (vagy impulzusa) határozza meg. Ugyanakkor egy adott makroszkopikus állapothoz (pl. T = 300 K, p = 1 atm) számtalan mikroállapot tartozik. A statisztikus mechanika célja, hogy ezeknek a mikroállapotoknak az eloszlásából számítsa ki a megfigyelhető mennyiségeket.

• Mikroállapot: egyedi konfiguráció, amelyben a részecskék helyzete és impulzusa pontosan ismert.
• Makroállapot: az állapot jellemzői makroszkopikus mennyiségekkel leírhatók, például hőmérséklettel, térfogattal, nyomással.

A Boltzmann-eloszlás szerint egy adott energiaállapot betöltésének valószínűsége arányos az ${\textstyle P_{i}\propto e^{-E_{i}/kT}}$ kifejezéssel, ahol:

• ${\textstyle E_{i}}$ az állapot energiája,
• ${\textstyle k}$ a Boltzmann-állandó,
• ${\textstyle T}$ a hőmérséklet.

Ez az eloszlás meghatározza, hogy egy rendszer milyen valószínűséggel van egy adott energiaállapotban.

Az egyes energiaértékekhez tartozó mikroállapotok számát adja meg, és fontos szerepet játszik az összegzésekben és integrálásokban.

Az ideális gázmodell feltételezi, hogy a részecskék nem lépnek kölcsönhatásba egymással. A részecskék teljes szabadságfokkal mozognak, és az energia kizárólag kinetikus eredetű.

A klasszikus statisztikus mechanika alkalmazása ebben az esetben:

• Megadja az energiaeloszlást (Maxwell-Boltzmann),
• Levezeti a gáz egyensúlyi tulajdonságait,
• Ugyanazt az állapotegyenletet kapjuk, mint a termodinamikában: ${\textstyle PV=NkT}$

Amikor a hőmérséklet nagyon alacsony, vagy a részecskék kölcsönhatásai nem elhanyagolhatók, kvantummechanikai elveket kell alkalmazni. Két fő kvantumstatisztika létezik:

• Fermionok (pl. elektronok): obey Fermi–Dirac-statisztikát ${\textstyle f(E)={\frac {1}{e^{(E-\mu )/kT}+1}}}$
• Bozonok (pl. fotonok, hélium-atomok): obey Bose–Einstein-statisztikát ${\textstyle f(E)={\frac {1}{e^{(E-\mu )/kT}-1}}}$

A kvantumstatisztika új jelenségeket magyaráz meg, például:

• Elektronok eloszlása fémekben
• Fotonok eloszlása a Planck-törvény szerint
• Bose–Einstein-kondenzáció

A kanonikus eloszlás leírja egy hőmérsékletű rendszer valószínűségi eloszlását adott energiaállapotok között. Ennek alapja a kanonikus partíciós függvény:

$${\displaystyle Z=\sum _{i}e^{-E_{i}/kT}}$$

Ezzel kiszámíthatók:

• Átlagos energia: ${\textstyle \langle E\rangle =-{\frac {\partial \ln Z}{\partial \beta }},\quad \beta ={\frac {1}{kT}}}$
• Szabadenergia: ${\textstyle F=-kT\ln Z}$
• Entropia, nyomás, hőkapacitás deriváltakból származnak.

Ez az eloszlás akkor alkalmazható, ha a rendszer elszigetelt: állandó energia, térfogat és részecskeszám (E, V, N). Ekkor minden mikroállapot azonos valószínűségű.

A mikrokanonikus entropia definíciója:

$${\displaystyle S=k\ln \Omega (E)}$$

ahol ${\textstyle \Omega (E)}$ a mikroállapotok száma az adott energián.

A statisztikus mechanika segítségével származtathatók olyan mennyiségek, mint:

• Nyomás: impulzusátadásból származik,
• Hőmérséklet: az energia statisztikai mértéke,
• Entropia: a rendezetlenség, vagy mikroállapotok számának logaritmusa,
• Hőkapacitás: az energia változása a hőmérséklettel,
• Szabadenergia: a rendszer rendelkezésére álló energiája munka végzésére.

A valószínűségi megközelítés fontos jellemzője a statisztikus mechanikának:

• Kis rendszerekben a fluktuációk (eltérések az átlagtól) jelentősek,
• Nagy rendszerekben ezek elhanyagolhatók a nagy számok törvénye miatt.

A statisztikus mechanika hatása kiterjed a következő területekre:

• Termodinamika: elméleti alapokat ad.
• Szilárdtestfizika: elektronok és fononok viselkedése, hővezetés.
• Gázok és folyadékok elmélete: sűrűségfüggések, diffúzió, viszkozitás.
• Kémiai egyensúly: reakciósebesség, kötési energiák statisztikai leírása.
• Biológiai rendszerek: fehérjefolding, membránok dinamikája.
• Informatika és komplex rendszerek: sztochasztikus modellek, entrópia-alapú tanulás.

A statisztikus mechanika alapjai a 19. század végére tehetők:

• James Clerk Maxwell: kinetikus gázelmélet,
• Ludwig Boltzmann: entrópia és mikroállapotok kapcsolata, Boltzmann-egyenlet,
• Josiah Willard Gibbs: partíciós függvény és különböző statisztikai ensemble-ok elmélete.

A kvantummechanika fejlődésével a 20. században:

• Fermi, Dirac, Bose és Einstein fejlesztették tovább a kvantumstatisztikát.

A statisztikus mechanika egyesíti a mikroszkopikus fizikai törvényeket a makroszkopikus világ leírásával. Statisztikai és valószínűségi módszerek alkalmazásával meghatározza a termodinamikai állapotváltozók viselkedését a mögöttes atomisztikus szerkezet alapján. Kulcsfontosságú nemcsak a fizika, hanem a kémia, biológia, mérnöktudományok és adatelemzés számára is. Megértése elengedhetetlen minden olyan tudományos területen, ahol nagy számú részecske kollektív viselkedése határozza meg a rendszer működését.

• statistical mechanics - Szótár.net (en-hu)
• statistical mechanics - Sztaki (en-hu)
• statistical mechanics - Merriam–Webster
• statistical mechanics - Cambridge
• statistical mechanics - WordNet
• statistical mechanics - Яндекс (en-ru)
• statistical mechanics - Google (en-hu)
• statistical mechanics - Wikidata
• statistical mechanics - Wikipédia (angol)