számelmélet alaptétele

• IPA:

számelmélet alaptétele

1. (matematika) Minden egynél nagyobb egész szám előáll prímszámok szorzataként. Ez az előállítás a prímtényezők sorrendjétől eltekintve egyértelmű.

A **számelmélet alaptétele** azt mondja ki, hogy minden 1-nél nagyobb természetes szám egyértelműen felbontható prímek szorzataként, a tényezők sorrendjétől eltekintve. Ez a tétel a számelmélet egyik legfontosabb alaptétele, és alapvető szerepet játszik az egész számok elméletében.

Számelmélet alaptétele: Minden ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ahol ${\displaystyle n>1}$, létezik olyan pozitív egész ${\displaystyle k}$, és léteznek olyan prímek ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{k}}$, hogy ${\displaystyle n=p_{1}^{e_{1}}\cdot p_{2}^{e_{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{e_{k}},}$ ahol ${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{k}}$ pozitív egészek. Ez a felbontás egyértelmű, azaz az ${\displaystyle e_{i}}$-k és a ${\displaystyle p_{i}}$-k meghatározottak, a tényezők sorrendjétől eltekintve.

A bizonyítás két részből áll: a létezés és az egyértelműség bizonyításából.

Az indukció módszerével igazolható:

• Báziseset: ${\displaystyle n=2}$, amely önmagában prím.
• Indukciós lépés: Tegyük fel, hogy minden ${\displaystyle n}$ természetes számra, ahol ${\displaystyle 1<n<k}$, igaz a tétel. Vizsgáljuk ${\displaystyle k}$-t:

 * Ha ${\displaystyle k}$ prím, akkor nincs további teendő, mert ${\displaystyle k}$ már prímek szorzataként írható fel.
 * Ha ${\displaystyle k}$ nem prím, akkor ${\displaystyle k}$-t felírhatjuk két ${\displaystyle a}$ és ${\displaystyle b}$ egész szám szorzataként (${\displaystyle k=a\cdot b}$), ahol ${\displaystyle 1<a,b<k}$. Az indukciós feltevés szerint ${\displaystyle a}$ és ${\displaystyle b}$ prímek szorzataként felbonthatók, így ${\displaystyle k}$ is az.

Feltesszük, hogy létezik egy szám, például ${\displaystyle n}$, amely két különböző módon bontható fel prímek szorzataként: ${\displaystyle n=p_{1}^{e_{1}}\cdot p_{2}^{e_{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{e_{k}}=q_{1}^{f_{1}}\cdot q_{2}^{f_{2}}\cdot \ldots \cdot q_{m}^{f_{m}},}$ ahol ${\displaystyle p_{i}}$ és ${\displaystyle q_{j}}$ különböző prímek. A számelmélet alaptulajdonságai szerint egy prím csak önmagával és ${\displaystyle 1}$-gyel osztható. Ezért a két felbontásnak meg kell egyeznie, vagyis ${\displaystyle k=m}$, ${\displaystyle p_{i}=q_{i}}$, és ${\displaystyle e_{i}=f_{i}}$ minden ${\displaystyle i}$-re.

• A számelmélet alaptételének alkalmazásai közé tartozik a legnagyobb közös osztó és a legkisebb közös többszörös kiszámítása, a számelméleti függvények elemzése, valamint a modern titkosítási algoritmusok, például az RSA alapja.
• A tétel szorosan kapcsolódik a prímszámok vizsgálatához és az egész számok struktúrájához.

• angol: fundamental theorem of arithmetic (en)

• számelmélet alaptétele - Értelmező szótár (MEK)
• számelmélet alaptétele - Etimológiai szótár (UMIL)
• számelmélet alaptétele - Szótár.net (hu-hu)
• számelmélet alaptétele - DeepL (hu-de)
• számelmélet alaptétele - Яндекс (hu-ru)
• számelmélet alaptétele - Google (hu-en)
• számelmélet alaptétele - Helyesírási szótár (MTA)
• számelmélet alaptétele - Wikidata
• számelmélet alaptétele - Wikipédia (magyar)