triangular distribution

triangular distribution (tsz. triangular distributions)

1. (informatika) A háromszög-eloszlás (angolul triangular distribution) egy egyszerű és gyakran használt valószínűségi eloszlás, amelyet akkor alkalmazunk, ha csak három érték ismert:

1. a legkisebb érték (alsó határ, a),
2. a legvalószínűbb érték (modus, c),
3. és a legnagyobb érték (felső határ, b).

Nevét onnan kapta, hogy valószínűségsűrűség-függvénye (PDF) háromszög alakú – az a és b között nő és csökken, és c csúcsán éri el a maximumát.

Ez az eloszlás nem származik empirikus adatokból, hanem szakértői becslésen vagy szubjektív feltételezéseken alapul. Emiatt előszeretettel használják projektmenedzsmentben, Monte Carlo szimulációkban, üzleti döntéshozatalban és becslési problémákban.

A háromszög-eloszlást három paraméter határozza meg:

• a – alsó határ (minimum lehetséges érték)
• b – felső határ (maximum lehetséges érték)
• c – csúcs, a legvalószínűbb érték (a ≤ c ≤ b)

A sűrűségfüggvény darabos, két szakaszból áll:

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&x<a\\{\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}},&a\leq x<c\\{\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}},&c\leq x\leq b\\0,&x>b\end{cases}}}$$

Ez egy folytonos függvény, amely a-nál 0-ról indul, c-nél van a maximum, és b-nél ismét 0-ba esik vissza.

Ha c = (a + b)/2, akkor az eloszlás szimmetrikus.

Az eloszlásfüggvény (cumulative distribution function) F(x):

$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0,&x<a\\{\frac {(x-a)^{2}}{(b-a)(c-a)}},&a\leq x<c\\1-{\frac {(b-x)^{2}}{(b-a)(b-c)}},&c\leq x\leq b\\1,&x>b\end{cases}}}$$

Ez megmutatja, hogy az x alatti értékek mekkora valószínűséggel fordulnak elő.

$${\displaystyle \mathbb {E} ={\frac {a+b+c}{3}}}$$

Ez a középérték a három paraméter átlaga, de súlyozva a csúccsal.

$${\displaystyle {\text{Var}}(X)={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc}{18}}}$$

A szórás a szóródást mutatja – minél közelebb van c az a vagy b értékhez, annál aszimmetrikusabb és nagyobb a szórás.

• Folytonos eloszlás
• Kompakt (korlátos) intervallum: csak a és b között vehet fel értéket
• Nem normális, de közelítheti azt, ha c ≈ (a + b)/2
• Könnyen használható, ha nincs elegendő adat, de van szakértői becslés

Inverz transzformációs módszer használatával:

Ha U ~ Uniform(0,1):

$${\displaystyle X={\begin{cases}a+{\sqrt {U\cdot (b-a)(c-a)}},&{\text{ha }}U<{\frac {c-a}{b-a}}\\b-{\sqrt {(1-U)(b-a)(b-c)}},&{\text{ha }}U\geq {\frac {c-a}{b-a}}\end{cases}}}$$

Ez lehetővé teszi, hogy háromszög-eloszlásból származó véletlenszámokat generáljunk.

A PERT technikában gyakran használnak háromszög-eloszlást az időbecslésekhez:

• optimista becslés (a)
• pesszimista becslés (b)
• legvalószínűbb idő (c)

Így kiszámítható a várható idő és kockázat.

Amikor egy bemeneti paraméter értékéről csak becslés áll rendelkezésre, háromszög-eloszlás segítségével modellezhetjük annak bizonytalanságát.

Olyan döntési helyzetekben, ahol korlátozott információ áll rendelkezésre a valószínűségekről, de a határokat és a „tipikus” értéket tudjuk.

Becslések bevételekről, költségekről, keresletről vagy nyersanyagárakról.

• Egyszerű értelmezés (csak 3 paraméter)
• Intuitív: a legvalószínűbb érték hangsúlyos
• Könnyen használható szimulációkhoz
• Nem igényel valódi adatokat

• Nem tükrözi a valós eloszlások komplexitását
• Az alakja szigorúan háromszög – korlátozott rugalmasság
• Szakértői becslésen alapulhat – szubjektív

Tegyük fel, hogy egy projekt időtartamát a következőképpen becsüljük:

• a = 4 nap (optimista)
• c = 7 nap (legvalószínűbb)
• b = 10 nap (pesszimista)

A várható idő:

$${\displaystyle \mathbb {E} ={\frac {4+7+10}{3}}={\frac {21}{3}}=7{\text{ nap}}}$$

A szórás:

Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle \text{Var}(X) = \frac{4^2 + 10^2 + 7^2 - 4×10 - 4×7 - 10×7}{18} = \frac{16 + 100 + 49 - 40 - 28 - 70}{18} = \frac{27}{18} = 1.5 }

Szórásnégyzet: 1.5, tehát szórás ≈ 1.22 nap

A háromszög-eloszlás egy egyszerű, de hatékony eszköz a bizonytalanság modellezésére olyan helyzetekben, amikor kevés adat áll rendelkezésre, de a minimális, legvalószínűbb és maximális érték becsülhető. Bár nem annyira kifinomult, mint például a normáleloszlás, intuitív, vizuálisan könnyen értelmezhető, és nagyszerű választás szimulációs és előrejelzési problémákhoz.

• triangular distribution - Szótár.net (en-hu)
• triangular distribution - Sztaki (en-hu)
• triangular distribution - Merriam–Webster
• triangular distribution - Cambridge
• triangular distribution - WordNet
• triangular distribution - Яндекс (en-ru)
• triangular distribution - Google (en-hu)
• triangular distribution - Wikidata
• triangular distribution - Wikipédia (angol)