valószínűségszámítás

• IPA:

valószínűségszámítás

1. (matematika, valószínűségszámítás)

A valószínűségszámítás a matematika egy ága, amely a véletlenszerű jelenségek modellezésével, elemzésével és előrejelzésével foglalkozik. Ez az eszköz alapvető fontosságú számos tudományterületen, beleértve a statisztikát, a fizikát, a biológiát, a közgazdaságtant és a gépi tanulást.

A mintatér (${\displaystyle \Omega }$) az összes lehetséges kimenetel halmaza egy adott kísérletben.

• Példa: Egy érme feldobásakor ${\displaystyle \Omega =\{F,I\}}$, ahol ${\displaystyle F}$ a fej, ${\displaystyle I}$ az írás.

Egy esemény az alapmintatér részhalmaza.

• Példa: Az a kimenetel, hogy az érme fej lesz (${\displaystyle A=\{F\}}$).

A valószínűség egy függvény, amely egy eseményhez ${\displaystyle }$-beli számot rendel, és teljesíti Kolmogorov axiómáit: 1. ${\displaystyle P(A)\geq 0}$ minden ${\displaystyle A\subseteq \Omega }$-ra. 2. ${\displaystyle P(\Omega )=1}$. 3. Ha ${\displaystyle A}$ és ${\displaystyle B}$ egymást kizáró események, akkor ${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)}$.

Egy esemény valószínűsége feltéve, hogy egy másik esemény bekövetkezett: ${\displaystyle P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}},\quad P(B)>0.}$

Két esemény ${\displaystyle A}$ és ${\displaystyle B}$ független, ha: ${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).}$

Ha ${\displaystyle B_{1},B_{2},\ldots ,B_{n}}$ egymást kizáró események és ${\displaystyle \cup _{i=1}^{n}B_{i}=\Omega }$, akkor bármely ${\displaystyle A}$-ra: ${\displaystyle P(A)=\sum _{i=1}^{n}P(A|B_{i})\cdot P(B_{i}).}$

A Bayes-tétel segítségével egy feltételes valószínűséget visszafelé számolhatunk: ${\displaystyle P(B_{i}|A)={\frac {P(A|B_{i})\cdot P(B_{i})}{\sum _{j=1}^{n}P(A|B_{j})\cdot P(B_{j})}}.}$

Egyszeri kísérlet két lehetséges kimenettel (siker vagy kudarc).

• Valószínűségi függvény:

${\displaystyle P(X=k)=p^{k}\cdot (1-p)^{1-k},\quad k=0,1.}$

• Várható érték: ${\displaystyle E(X)=p}$.
• Szórás: ${\displaystyle \sigma (X)={\sqrt {p(1-p)}}}$.

Egy ${\displaystyle n}$ számú független Bernoulli-kísérlet során a sikerek száma.

• Valószínűségi függvény:

${\displaystyle P(X=k)={\binom {n}{k}}\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{n-k}.}$

• Várható érték: ${\displaystyle E(X)=n\cdot p}$.
• Szórás: ${\displaystyle \sigma (X)={\sqrt {n\cdot p\cdot (1-p)}}}$.

Az első sikerig tartó kísérletek száma.

• Valószínűségi függvény:

${\displaystyle P(X=k)=(1-p)^{k-1}\cdot p.}$

• Várható érték: ${\displaystyle E(X)={\frac {1}{p}}}$.
• Szórás: ${\displaystyle \sigma (X)={\frac {\sqrt {1-p}}{p}}}$.

Egy adott időszakban bekövetkező ritka események száma.

• Valószínűségi függvény:

${\displaystyle P(X=k)={\frac {\lambda ^{k}\cdot e^{-\lambda }}{k!}}.}$

• Várható érték: ${\displaystyle E(X)=\lambda }$.
• Szórás: ${\displaystyle \sigma (X)={\sqrt {\lambda }}}$.

Egy ${\displaystyle }$ intervallumon belül az összes érték egyenlő valószínűséggel fordul elő.

• Sűrűségfüggvény:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}},&{\text{ha }}a\leq x\leq b,\\0,&{\text{egyébként.}}\end{cases}}}$

• Várható érték: ${\displaystyle E(X)={\frac {a+b}{2}}}$.
• Szórás: ${\displaystyle \sigma (X)={\frac {b-a}{\sqrt {12}}}}$.

Sok véletlen hatás eredményeként kialakuló eloszlás.

• Sűrűségfüggvény:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\cdot e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}.}$

• Várható érték: ${\displaystyle \mu }$.
• Szórás: ${\displaystyle \sigma }$.

A valószínűségszámítást széles körben alkalmazzák:

• Statisztika: Mintavétel és hipotézisvizsgálat.
• Fizika: Kvantummechanikai jelenségek modellezése.
• Közgazdaságtan: Piaci kockázatok elemzése.
• Gépi tanulás: Valószínűségi modellek a predikcióhoz.
• Biológia: Genetikai kísérletek elemzése.

A valószínűségszámítás alapvető eszköz a bizonytalanság kezelésekor. Az elméleti alapok, mint Kolmogorov axiómái, valamint a gyakorlati eloszlások és tételek együttesen teszik lehetővé a valószínűségi modellek alkalmazását a valós élet problémáiban.

• angol: probability theory (en)
• francia: théorie des probabilités (fr)
• német: Wahrscheinlichkeitsrechnung (de)
• orosz: теория вероятности (ru) (teorija verojatnosti)

• valószínűségszámítás - Értelmező szótár (MEK)
• valószínűségszámítás - Etimológiai szótár (UMIL)
• valószínűségszámítás - Szótár.net (hu-hu)
• valószínűségszámítás - DeepL (hu-de)
• valószínűségszámítás - Яндекс (hu-ru)
• valószínűségszámítás - Google (hu-en)
• valószínűségszámítás - Helyesírási szótár (MTA)
• valószínűségszámítás - Wikidata
• valószínűségszámítás - Wikipédia (magyar)