Basu-tétel

• IPA:

Basu-tétel

1. (matematika, valószínűségszámítás) A statisztikában a Basu-tétel azt állítja, hogy bármely komplett elégséges statisztika független bármely kiegészítő statisztikától.

Egy statisztika kiegészítő statisztika, ha az eloszlása nem függ θ-tól.

A **Basu-tétel** a valószínűségelmélet és statisztika egyik alapvető tétele, amely a torzítatlan becslésekről és a megfelelő statisztikákról szól. A tétel kimondja, hogy ha egy statisztika elégséges és torzítatlan becsléshez független, akkor a statisztika szórása nulla, tehát determinisztikus.

---

Legyen ${\displaystyle X=(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})}$ egy mintavételi minta egy populációból, amelynek sűrűségfüggvénye ${\displaystyle f(x;\theta )}$, ahol ${\displaystyle \theta }$ ismeretlen paraméter. Legyen ${\displaystyle T(X)}$ egy elégséges statisztika a ${\displaystyle \theta }$-ra nézve, és ${\displaystyle S(X)}$ egy másik statisztika, amely ${\displaystyle T(X)}$-től független. Ha ${\displaystyle S(X)}$ torzítatlan becslése a ${\displaystyle g(\theta )}$-nak, akkor ${\displaystyle S(X)}$ determinisztikus.

---

• ${\displaystyle T(X)}$: egy elégséges statisztika a Neyman–Fisher-tétel alapján, azaz ${\displaystyle f(x;\theta )}$ faktorizálható:

$${\displaystyle f(x;\theta )=h(x)\cdot g(T(x);\theta ),}$$ ahol ${\displaystyle h(x)}$ nem függ ${\displaystyle \theta }$-tól.

• ${\displaystyle S(X)}$: egy statisztika, amely ${\displaystyle T(X)}$-től független, és torzítatlan becslést ad ${\displaystyle g(\theta )}$-ra:

$${\displaystyle E=g(\theta ).}$$

---

Ha ${\displaystyle S(X)}$ és ${\displaystyle T(X)}$ függetlenek, akkor a kettő közötti korreláció nulla. Mivel ${\displaystyle T(X)}$ elégséges, minden információ ${\displaystyle \theta }$-ról ${\displaystyle T(X)}$-en keresztül érkezik. Ez azt jelenti, hogy ${\displaystyle S(X)}$-nek nincs extra információja ${\displaystyle \theta }$-ról a ${\displaystyle T(X)}$-en túl.

---

Az elégséges statisztika tulajdonságai miatt a ${\displaystyle S(X)}$ torzítatlansága és függetlensége következtében:

$${\displaystyle {\text{Var}}(S(X))=0,}$$

tehát ${\displaystyle S(X)}$ szórása nulla. Ez azt jelenti, hogy ${\displaystyle S(X)}$ nem lehet sztochasztikus, hanem determinisztikus, azaz konstans.

---

A **Basu-tétel** azt mondja ki, hogy egy ${\displaystyle \theta }$-ra elégséges statisztikától független torzítatlan becslőfüggvénynek nincs szórása, vagyis nem hordoz hasznos információt, és determinisztikus. Ez a tétel különösen fontos a statisztikai becslések és elméleti eredmények megalapozásában.

• Basu-tétel - Értelmező szótár (MEK)
• Basu-tétel - Etimológiai szótár (UMIL)
• Basu-tétel - Szótár.net (hu-hu)
• Basu-tétel - DeepL (hu-de)
• Basu-tétel - Яндекс (hu-ru)
• Basu-tétel - Google (hu-en)
• Basu-tétel - Helyesírási szótár (MTA)
• Basu-tétel - Wikidata
• Basu-tétel - Wikipédia (magyar)