Cauchy-féle integráltétel

• IPA:

Cauchy-féle integráltétel

1. (matematika, komplex analízis) A Cauchy-féle integráltétel a komplex analízis egyik alapvető tétele, amely a komplex függvények viselkedését írja le az analitikus függvények esetében.

Legyen ${\displaystyle f(z)}$ egy komplex függvény, amely az ${\displaystyle U}$ nyílt tartományban holomorf, és ${\displaystyle C}$ egy zárt, egyszeresen összefüggő, pozitív irányítású sima görbe, amely teljes egészében ${\displaystyle U}$-n belül van. Ekkor:

$${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=0}$$

Azaz, ha egy függvény holomorf egy egyszeresen összefüggő tartományban, akkor bármely zárt görbe mentén vett komplex görbeintegrálja nulla.

---

A síkbeli Green-tétel kimondja, hogy ha ${\displaystyle P(x,y)}$ és ${\displaystyle Q(x,y)}$ két folytonosan differenciálható függvény egy egyszeresen összefüggő tartományban, akkor a zárt görbe menti integrál:

$${\displaystyle \oint _{C}P\,dx+Q\,dy=\iint _{R}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\,dy,}$$

ahol ${\displaystyle R}$ a ${\displaystyle C}$-vel határolt tartomány.

---

A komplex függvények görbeintegrálját a következőképpen írhatjuk fel:

$${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\oint _{C}u(x,y)\,dx-v(x,y)\,dy+i\oint _{C}v(x,y)\,dx+u(x,y)\,dy,}$$

ahol ${\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y)}$, ${\displaystyle z=x+iy}$, és ${\displaystyle u(x,y)}$, ${\displaystyle v(x,y)}$ a valós és képzetes rész.

---

Ha ${\displaystyle f(z)}$ holomorf, akkor a Cauchy–Riemann-egyenletek teljesülnek:

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},\quad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.}$$

Most alkalmazzuk a Green-tételt:

1. Az ${\displaystyle u(x,y)}$-re és ${\displaystyle v(x,y)}$-re alkalmazva a Green-tételt, a zárt görbe menti integrál területi integrállá alakítható.
2. A holomorfia miatt a Cauchy–Riemann-egyenletek alapján a következő teljesül:

$${\displaystyle \iint _{R}\left({\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=0,}$$ és $${\displaystyle \iint _{R}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=0.}$$

Mivel mindkét kifejezés zérus, az eredeti integrál: $${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=0.}$$

---

A Cauchy-féle integráltétel tehát abból következik, hogy egy holomorf függvény deriváltja folytonos, és teljesíti a Cauchy–Riemann-egyenleteket. Ezért bármely zárt görbe menti komplex görbeintegrálja nulla.

---

A Cauchy-féle integráltétel fontos következménye a **Cauchy-integrálformula**, amely lehetővé teszi az analitikus függvények explicit kiszámítását zárt görbe menti integrálok segítségével. Ha érdekel, részletesen kifejthetem!

• angol: Cauchy's integral theorem (en)

• Cauchy-féle integráltétel - Értelmező szótár (MEK)
• Cauchy-féle integráltétel - Etimológiai szótár (UMIL)
• Cauchy-féle integráltétel - Szótár.net (hu-hu)
• Cauchy-féle integráltétel - DeepL (hu-de)
• Cauchy-féle integráltétel - Яндекс (hu-ru)
• Cauchy-féle integráltétel - Google (hu-en)
• Cauchy-féle integráltétel - Helyesírási szótár (MTA)
• Cauchy-féle integráltétel - Wikidata
• Cauchy-féle integráltétel - Wikipédia (magyar)