szó jelentését keresi. A DICTIOUS-ban nem csak a
szó összes szótári jelentését megtalálod, hanem megismerheted az etimológiáját, a jellemzőit és azt is, hogyan kell a
szót egyes és többes számban mondani. Minden, amit a
szóról tudni kell, itt található. A
szó meghatározása segít abban, hogy pontosabban és helyesebben fogalmazz, amikor beszélsz vagy írsz. A
és más szavak definíciójának ismerete gazdagítja a szókincsedet, és több és jobb nyelvi forráshoz juttat.
Kiejtés
Főnév
Cayley-tétel
- (matematika, csoportelmélet) A Cayley-tétel a csoportelmélet egy jelentős eredménye, mely azt mondja ki, hogy minden G csoport izomorf a Sym(G) szimmetrikus csoport valamely részcsoportjával. A G csoport Sym(G) szimmetrikus csoportja nem más, mint a G halmaz önmagára vett összes bijekciójának (tehát permutációjának) csoportja a függvénykompozícióval mint művelettel ellátva. Az összes G → Sym(G) csoporthomomorfizmus meghatároz egy G-hatást a G-n, de a tétel szerint van egy kitüntetett T: G → Sym(G) homomorfizmus, mely izomorfizmus és amit a csoport reguláris- vagy Cayley-reprezentációjának nevezünk. A Cayley-tétel következménye, hogy minden tétel, ami permutációcsoportokra igaz, az csoportokra is igaz, mivel minden csoport ábrázolható permutációcsoportként. Az elnevezés Arthur Cayley nevét őrzi.
Cayley-tétel
Definíció
A Cayley-tétel a csoportelmélet egyik alapvető tétele, amely kimondja:
Minden véges vagy végtelen csoport izomorf egy permutációs csoport egy részhalmazával.
Más szóval, minden csoport izomorf a -re vett bal oldali hatással definiált csoporttal, amely a permutációk csoportjának részcsoportja.
Tétel Állítása
Legyen egy csoport, amelynek rendje . Ekkor:
- Létezik egy injektív homomorfizmus , ahol a elemeire definiált permutációk csoportja.
- izomorf a permutációk egy részhalmazával ().
Ez azt jelenti, hogy bármely csoport modellezhető egy permutációs csoport részeként.
Fontos Fogalmak
Permutációs csoport ()
- Az csoport az -elemű halmaz összes permutációját tartalmazza.
- Minden permutáció egy bijektív függvény, amely az elemek sorrendjét változtatja meg.
Bal oldali hatás
- A csoport elemei balról hatnak saját magukra:
ahol , és egy adott elem által meghatározott permutáció.
Cayley-tétel Bizonyítása
1. A homomorfizmus definíciója
Definiáljunk egy leképezést az alábbi módon:
Itt egy -re vett permutációt jelent, amely az elemet -re képezi le.
2. homomorfizmus
Vizsgáljuk meg, hogy csoporthomomorfizmus:
- Legyenek , akkor:
Ugyanakkor:
Ezért:
így homomorfizmus.
3. injektív
- Ha , akkor minden -re.
- Mivel a csoportművelet invertálható, ez azt jelenti, hogy .
- Tehát injektív.
4. képe egy permutációs részcsoport
- A képe () a permutációs csoport () egy részcsoportja.
- Ez a részcsoport izomorf -vel, mivel injektív és homomorfizmus.
5. Következtetés
- izomorf a permutációk egy részcsoportjával ().
- Ez azt jelenti, hogy mindig reprezentálható permutációs csoportként.
Példa
Példa:
- , ahol az összeadás modulo -mal van definiálva.
- a három elem összes permutációját tartalmazza.
Homomorfizmus
- (identitás permutáció).
- .
- .
Eredmény
- A -vel definiált permutációk egy részcsoportot alkotnak -ban, amely izomorf -mal.
Fontos Következmények
- Csoportok permutációs modellje:
- Minden csoport permutációs csoportként ábrázolható.
- Véges csoportok tanulmányozása:
- A Cayley-tétel lehetővé teszi, hogy véges csoportokat permutációkon keresztül vizsgáljunk.
- Csoportreprezentációk:
- A tétel alapot ad a csoportok ábrázolásának elméletéhez, különösen a permutációs reprezentációkhoz.
Összegzés
A Cayley-tétel azt mondja ki, hogy minden csoport ábrázolható permutációs csoportként. Ez a tétel egy alapvető eszköz a csoportelméletben, amely megmutatja, hogy a permutációs csoportok elegendőek minden más csoport struktúrájának reprezentálására.