Cayley-tétel

Üdvözlöm, Ön a Cayley-tétel szó jelentését keresi. A DICTIOUS-ban nem csak a Cayley-tétel szó összes szótári jelentését megtalálod, hanem megismerheted az etimológiáját, a jellemzőit és azt is, hogyan kell a Cayley-tétel szót egyes és többes számban mondani. Minden, amit a Cayley-tétel szóról tudni kell, itt található. A Cayley-tétel szó meghatározása segít abban, hogy pontosabban és helyesebben fogalmazz, amikor beszélsz vagy írsz. ACayley-tétel és más szavak definíciójának ismerete gazdagítja a szókincsedet, és több és jobb nyelvi forráshoz juttat.

Kiejtés

  • IPA:

Főnév

Cayley-tétel

  1. (matematika, csoportelmélet) A Cayley-tétel a csoportelmélet egy jelentős eredménye, mely azt mondja ki, hogy minden G csoport izomorf a Sym(G) szimmetrikus csoport valamely részcsoportjával. A G csoport Sym(G) szimmetrikus csoportja nem más, mint a G halmaz önmagára vett összes bijekciójának (tehát permutációjának) csoportja a függvénykompozícióval mint művelettel ellátva. Az összes G → Sym(G) csoporthomomorfizmus meghatároz egy G-hatást a G-n, de a tétel szerint van egy kitüntetett T: G → Sym(G) homomorfizmus, mely izomorfizmus és amit a csoport reguláris- vagy Cayley-reprezentációjának nevezünk. A Cayley-tétel következménye, hogy minden tétel, ami permutációcsoportokra igaz, az csoportokra is igaz, mivel minden csoport ábrázolható permutációcsoportként. Az elnevezés Arthur Cayley nevét őrzi.

Cayley-tétel

Definíció

A Cayley-tétel a csoportelmélet egyik alapvető tétele, amely kimondja:

Minden véges vagy végtelen csoport izomorf egy permutációs csoport egy részhalmazával.

Más szóval, minden csoport izomorf a -re vett bal oldali hatással definiált csoporttal, amely a permutációk csoportjának részcsoportja.

Tétel Állítása

Legyen egy csoport, amelynek rendje . Ekkor:

  1. Létezik egy injektív homomorfizmus , ahol a elemeire definiált permutációk csoportja.
  2. izomorf a permutációk egy részhalmazával ().

Ez azt jelenti, hogy bármely csoport modellezhető egy permutációs csoport részeként.

Fontos Fogalmak

Permutációs csoport ()

- Az csoport az -elemű halmaz összes permutációját tartalmazza. - Minden permutáció egy bijektív függvény, amely az elemek sorrendjét változtatja meg.

Bal oldali hatás

- A csoport elemei balról hatnak saját magukra: ahol , és egy adott elem által meghatározott permutáció.

Cayley-tétel Bizonyítása

1. A homomorfizmus definíciója

Definiáljunk egy leképezést az alábbi módon: Itt egy -re vett permutációt jelent, amely az elemet -re képezi le.

2. homomorfizmus

Vizsgáljuk meg, hogy csoporthomomorfizmus: - Legyenek , akkor: Ugyanakkor: Ezért: így homomorfizmus.

3. injektív

- Ha , akkor minden -re. - Mivel a csoportművelet invertálható, ez azt jelenti, hogy . - Tehát injektív.

4. képe egy permutációs részcsoport

- A képe () a permutációs csoport () egy részcsoportja. - Ez a részcsoport izomorf -vel, mivel injektív és homomorfizmus.

5. Következtetés

- izomorf a permutációk egy részcsoportjával (). - Ez azt jelenti, hogy mindig reprezentálható permutációs csoportként.

Példa

Példa:

- , ahol az összeadás modulo -mal van definiálva. - a három elem összes permutációját tartalmazza.

Homomorfizmus

- (identitás permutáció). - . - .

Eredmény

- A -vel definiált permutációk egy részcsoportot alkotnak -ban, amely izomorf -mal.

Fontos Következmények

  1. Csoportok permutációs modellje:
  - Minden csoport permutációs csoportként ábrázolható.
  1. Véges csoportok tanulmányozása:
  - A Cayley-tétel lehetővé teszi, hogy véges csoportokat permutációkon keresztül vizsgáljunk.
  1. Csoportreprezentációk:
  - A tétel alapot ad a csoportok ábrázolásának elméletéhez, különösen a permutációs reprezentációkhoz.

Összegzés

A Cayley-tétel azt mondja ki, hogy minden csoport ábrázolható permutációs csoportként. Ez a tétel egy alapvető eszköz a csoportelméletben, amely megmutatja, hogy a permutációs csoportok elegendőek minden más csoport struktúrájának reprezentálására.