Euler method (tsz. Euler methods)

1. (informatika) Euler-módszer

A differenciálegyenletek sok esetben analitikusan (képlettel) nem oldhatók meg. Ilyenkor numerikus módszerekhez folyamodunk: a számítógép “lépésenként” számolja ki a megoldást.

Az egyik legegyszerűbb ilyen módszer az Euler-módszer.

Tegyük fel, hogy a következő kezdetiérték-problémát (IVP) akarjuk megoldani:

$${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}}$$

• ${\textstyle t}$: független változó (pl. idő).
• ${\textstyle y(t)}$: ismeretlen függvény.
• ${\textstyle f(t,y)}$: megadott függvény, ami a deriváltat adja.

Cél: megtalálni ${\textstyle y(t)}$-t egy adott időintervallumban.

A derivált definíciója szerint:

$${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}\approx {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}}$$

Innen:

$${\displaystyle y(t+h)\approx y(t)+h\cdot f(t,y(t))}$$

Ez az Euler-lépés.

Tehát ha ismerjük ${\textstyle y(t)}$-t, akkor egy kis ${\textstyle h}$ lépéssel megbecsülhetjük ${\textstyle y(t+h)}$-t.

1. Válasszunk lépésközt: ${\textstyle h}$.
2. Állítsuk be az indulási értéket: ${\textstyle t_{0},y_{0}}$.
3. Ismételjük az alábbi lépést:

$${\displaystyle t_{n+1}=t_{n}+h}$$

$${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\cdot f(t_{n},y_{n})}$$

4. Addig ismételjük, amíg ${\textstyle t}$ el nem éri a kívánt értéket.

• A derivált ${\textstyle f(t,y)}$ meredekséget ad.
• Az Euler-módszer a görbét lineáris szakaszokkal közelíti.
• Minden lépésnél az aktuális helyi meredekséget vesszük figyelembe, és egy kis lineáris lépést teszünk.

Oldjuk meg:

$${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=y,\quad y(0)=1}$$

A megoldás ismert:

$${\displaystyle y(t)=e^{t}}$$

Most nézzük Euler-módszerrel ${\textstyle h=0.1}$ lépésközzel.

Első lépés:

$${\displaystyle y_{1}=y_{0}+h\cdot f(t_{0},y_{0})=1+0.1\cdot 1=1.1}$$

Második lépés:

$${\displaystyle y_{2}=y_{1}+h\cdot f(t_{1},y_{1})=1.1+0.1\cdot 1.1=1.21}$$

Harmadik lépés:

$${\displaystyle y_{3}=1.21+0.1\cdot 1.21=1.331}$$

… és így tovább.

• Mivel az Euler-módszer a függvényt egyenesekkel közelíti, az egy lépéses hiba:

$${\displaystyle {\mathcal {O}}(h^{2})}$$

• Az összegzett hiba (globális):

$${\displaystyle {\mathcal {O}}(h)}$$

→ elsőrendű módszer.

• A kisebb ${\textstyle h}$ → pontosabb eredmény.
• De túl kicsi ${\textstyle h}$ → több lépés → több számítás → kerekítési hibák is nőnek.

✅ Nagyon egyszerű. ✅ Könnyen implementálható. ✅ Gyors kezdeti becsléshez.

❌ Pontatlan, ha a függvény gyorsan változik. ❌ Stabilitási problémák: egyes egyenleteknél széteshet a numerikus megoldás. ❌ Csak elsőrendű.

• Stiff (merev) egyenletek esetén az Euler-módszer instabil lehet → a számítás elszáll.
• Ilyenkor implicit módszereket, pl. Backward Euler, implicit Runge–Kutta, stb. használunk.

Módszer	Globális hiba	Előnyök / hátrányok
Euler	${\textstyle {\mathcal {O}}(h)}$	nagyon egyszerű, de pontatlan
Heun (mod. Euler)	${\textstyle {\mathcal {O}}(h^{2})}$	jobb pontosság
Runge–Kutta 2. rend	${\textstyle {\mathcal {O}}(h^{2})}$	pontosabb
Runge–Kutta 4. rend	${\textstyle {\mathcal {O}}(h^{4})}$	ipari sztenderd

→ Runge–Kutta 4. rendű módszert használják a legtöbbször.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Paraméterek
h = 0.1
t0 = 0
y0 = 1
t_max = 2

# Derivált definíciója
def f(t, y):
    return y  # dy/dt = y

# Tárolók
t_values = 
y_values = 

# Euler iteráció
t = t0
y = y0

while t < t_max:
    y = y + h * f(t, y)
    t = t + h
    t_values.append(t)
    y_values.append(y)

# Valós megoldás
t_exact = np.linspace(t0, t_max, 100)
y_exact = np.exp(t_exact)

# Plot
plt.plot(t_values, y_values, 'o-', label='Euler')
plt.plot(t_exact, y_exact, 'r-', label='Exact $e^t$')
plt.legend()
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('y(t)')
plt.title('Euler method example')
plt.grid()
plt.show()

• Egyszerű szimulációk.
• Gyors becslések.
• Oktatás → a differenciálegyenletek numerikus megoldásának megértésére.
• Beágyazott rendszerek → ahol nincs erőforrás igényesebb módszerekre.

Az Euler-módszer:

• A legelső és legegyszerűbb numerikus módszer differenciálegyenletek megoldására.
• Egy lépésben a derivált alapján becsli az új értéket:

$${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\cdot f(t_{n},y_{n})}$$

• Pontossága ${\textstyle {\mathcal {O}}(h)}$, tehát kicsi lépésköz kell a jó eredményhez.
• Nagyon egyszerű implementálni, de sok problémánál nem elégséges → ilyenkor érdemes Runge–Kutta módszereket alkalmazni.

• Euler method - Szótár.net (en-hu)
• Euler method - Sztaki (en-hu)
• Euler method - Merriam–Webster
• Euler method - Cambridge
• Euler method - WordNet
• Euler method - Яндекс (en-ru)
• Euler method - Google (en-hu)
• Euler method - Wikidata
• Euler method - Wikipédia (angol)