Fourier analysis

Fourier analysis (tsz. Fourier analysises)

1. (informatika) Fourier-analízis

A Fourier-analízis a matematikának és a mérnöki tudományoknak egy olyan ága, amely az időbeli (vagy térbeli) jelek vizsgálatával foglalkozik, azokat alapvető periodikus komponensekre bontja fel. A Fourier-analízis központi gondolata, hogy szinte bármilyen bonyolult jel leírható szinusz- és koszinuszfüggvények összegzésével, amelyek különböző frekvenciákkal, amplitúdókkal és fázisokkal rendelkeznek.

Az elmélet alapjait Jean-Baptiste Joseph Fourier francia matematikus tette le a 19. század elején, amikor a hővezetés matematikai modelljét vizsgálta. A Fourier-analízis azóta szinte minden tudományágban alapvető eszközzé vált — többek között a jel- és kép-feldolgozásban, akusztikában, kvantummechanikában, orvosi képalkotásban, kommunikációs rendszerekben és még sok más területen.

Bármely időfüggő jelet ${\textstyle f(t)}$ fel lehet bontani egy szinuszos komponensekből álló sorozattá:

$${\displaystyle f(t)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}\cos(2\pi nf_{0}t)+b_{n}\sin(2\pi nf_{0}t)\right)}$$

ahol:

• ${\textstyle a_{n}}$ és ${\textstyle b_{n}}$ a Fourier-együtthatók,
• ${\textstyle f_{0}}$ az alapfrekvencia (alaphullám frekvenciája),
• ${\textstyle n}$ a harmonikusok száma (egész szám).

A fenti sorozat neve: Fourier-sor.

A szinusz- és koszinuszfüggvények ortogonális bázist alkotnak, tehát egymástól független építőelemként lehet őket használni egy jel felírására.

Gondoljunk egy téglalap alakú impulzusra (négyzetes hullám). Bár első pillantásra nem szinuszos, valójában lebontható végtelen sok szinuszos komponensre, melyek megfelelő összegzésével a négyzetes forma közelíthető.

Ez az intuíció a Fourier-analízis alapja: bármilyen időfüggő jel elbontható frekvenciák szerint.

A Fourier-sor periodikus jelekre vonatkozik. Nem-periodikus jelek esetén Fourier-transzformációt alkalmazunk, amely a jelet egy folytonos frekvenciaspektrumra bontja.

A folytonos Fourier-transzformáció (FT) definíciója:

$${\displaystyle F(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt}$$

Itt:

• ${\textstyle F(\omega )}$ a jel frekvencia-tartománybeli reprezentációja,
• ${\textstyle \omega }$ a szögfrekvencia (${\textstyle \omega =2\pi f}$),
• ${\textstyle e^{-i\omega t}}$ a komplex szinuszos alapfüggvény (Euler-formula).

A Fourier-inverz transzformációval vissza is lehet számítani az időtartománybeli jelet:

$${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega t}d\omega }$$

A Fourier-transzformáció megmutatja, hogy a jel milyen frekvenciakomponensekből épül fel. Például egy hanghullám FT-je megmutatja, hogy a hang milyen alaphangokból és felhangokból áll.

A valós alkalmazásokban a jeleket gyakran digitálisan mintavételezzük, azaz nem folytonos, hanem diszkrét értékek sorozataként állnak rendelkezésre.

Ekkor a Diszkrét Fourier-transzformáció (DFT) jön képbe:

$${\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\cdot e^{-i2\pi kn/N}\quad (k=0,1,...,N-1)}$$

ahol:

• ${\textstyle x_{n}}$ a jel ${\textstyle n}$-edik mintája időtartományban,
• ${\textstyle X_{k}}$ a frekvenciatartomány ${\textstyle k}$-adik komponense,
• ${\textstyle N}$ a mintavételek száma.

A DFT eredménye is diszkrét: ${\textstyle N}$ db komplex számot ad vissza, amelyek frekvencia-összetevőket reprezentálnak.

A DFT kiszámítása ${\textstyle O(N^{2})}$ időigényű, ami nagy jelek esetén túl lassú.

A Fast Fourier Transform (FFT) algoritmus ezt optimalizálja ${\textstyle O(N\log N)}$-re. Az FFT az egyik legfontosabb algoritmus a számítástechnikában, mindenütt használják:

• digitális jelfeldolgozás,
• kép- és hangfeldolgozás,
• tudományos számítások,
• tömörítési algoritmusok,
• radarrendszerek.

• Hangkódolás (MP3, telefonhívás tömörítése).
• Zajszűrés: a kívánt frekvenciák kiválasztása, zajfrekvenciák elnyomása.
• Spektrumanalízis: a hang vagy elektromágneses jel frekvenciakomponenseinek vizsgálata.

• Képélesítés vagy elmosás: Fourier-tartományban történő szűréssel.
• Tömörítés (JPEG): a kép frekvenciatartománybeli redundanciáját használja ki.

• Moduláció: a jelet különböző frekvenciákra ültetik át (rádió, mobilhálózatok).
• Spektrumszélesség-mérés.

• Hővezetés: Fourier-analízis adja az alapját.
• Hullámterjedés, optika, kvantummechanika.
• Rezgésanalízis: gépek és építmények vibrációjának vizsgálata.

• MRI (mágneses rezonanciás képalkotás): a mért adatok Fourier-tartományban készülnek, majd inverz transzformációval kapjuk meg a képet.
• CT (komputertomográfia): szintén Fourier-technikákra támaszkodik.

A Fourier-sor konvergenciája nem triviális. Feltételek:

• A jel darabosan folytonos, és csak véges sok szakadása van.
• Dirichlet-feltételek teljesülése esetén a Fourier-sor a jelhez konvergál.

Ha a jel diszkontinuitást tartalmaz (pl. lépcsőugrás), a Fourier-sor közelítése a szakadások körül oszcillálni fog. Ezt hívjuk Gibbs-jelenségnek.

A Fourier-analízis egyik mély üzenete, hogy a világ bonyolult rendszerei gyakran egyszerű komponensekből épülnek fel. Egy “véletlenszerűnek” tűnő jel is leírható alapvető hullámok segítségével.

Ez az elv szinte univerzális:

• a zene harmonikus összetevői,
• a fény különböző spektrális összetevői,
• az elektromágneses hullámok spektruma,
• a mechanikai rezgések modalitásai.

A Fourier-analízis tehát hidat képez az idő (vagy tér) és a frekvenciatartomány között.

A Fourier-analízis az egyik legmélyebb és legáltalánosabb eszköz a modern tudományban és technikában. Segítségével a bonyolult jelenségeket alapvető építőelemekre bontjuk fel, így azok átláthatóbbá és kezelhetőbbé válnak.

• Fourier analysis - Szótár.net (en-hu)
• Fourier analysis - Sztaki (en-hu)
• Fourier analysis - Merriam–Webster
• Fourier analysis - Cambridge
• Fourier analysis - WordNet
• Fourier analysis - Яндекс (en-ru)
• Fourier analysis - Google (en-hu)
• Fourier analysis - Wikidata
• Fourier analysis - Wikipédia (angol)