Fourier transform

Fourier transform (tsz. Fourier transforms)

1. (informatika) Fourier-transzformáció

A Fourier-transzformáció a matematika és a mérnöki tudomány egyik legfontosabb eszköze. Lehetővé teszi, hogy egy időbeli (vagy térbeli) jelet frekvenciakomponenseire bontsunk. Ez az eljárás nélkülözhetetlen az elektronika, digitális jelfeldolgozás, hangtechnika, képfeldolgozás, kvantummechanika, kommunikációelmélet, és még a gépi tanulás számos területén is.

A Fourier-transzformáció lényege, hogy egy komplex, időben változó jelet (pl. hanghullám) felírhatunk szinusz és koszinusz hullámok összegeként. Ezek a szinuszhullámok különböző frekvenciájú „építőkockák”, amelyekből bármilyen periodikus vagy nem-periodikus jel felépíthető.

Például egy zenei hang: több frekvencia keveréke → Fourier-transzformációval „szétszedhető” a komponenseire:

• 440 Hz (alaphang)
• 880 Hz, 1320 Hz (felhangok)

A folytonos Fourier-transzformáció:

$${\displaystyle F(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt}$$

Ahol:

• f(t) az időfüggő jel
• ω a szögfrekvencia (rad/s)
• F(ω) a jel frekvenciatartománybeli képe

A visszatranszformáció:

$${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega )\cdot e^{i\omega t}\,d\omega }$$

Számítógépeken nem folytonos jelekkel, hanem mintavételezett (diszkrét) adatokkal dolgozunk.

A DFT képlete:

$${\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\cdot e^{-2\pi ikn/N},\quad k=0,1,\dots ,N-1}$$

Ahol:

• x_n az időtartománybeli minta (N darab)
• X_k a k-edik frekvenciakomponens

$${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X_{k}\cdot e^{2\pi ikn/N}}$$

A Fast Fourier Transform (FFT) az egyik legfontosabb algoritmus a numerikus matematikában. Az FFT az DFT gyorsított változata:

• DFT időigénye: 𝑂(N²)
• FFT időigénye: 𝑂(N log N)

Ez teszi lehetővé a valós idejű jelfeldolgozást (pl. audióspektrum, radar, kép-FFT stb.).

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Szintetikus jel: 2 frekvencia keveréke
fs = 500  # mintavételezési frekvencia (Hz)
t = np.linspace(0, 1, fs, endpoint=False)
x = np.sin(2*np.pi*50*t) + 0.5*np.sin(2*np.pi*120*t)

# FFT
X = np.fft.fft(x)
freq = np.fft.fftfreq(len(x), d=1/fs)

# Spektrum kirajzolása
plt.plot(freq, np.abs(X))
plt.title("FFT – Frekvenciaspektrum")
plt.xlabel("Frekvencia (Hz)")
plt.ylabel("Amplitúdó")
plt.grid(True)
plt.show()

#include <fftw3.h>
#include <iostream>

int main() {
    int N = 1024;
    double* in = fftw_alloc_real(N);
    fftw_complex* out = fftw_alloc_complex(N/2 + 1);
    fftw_plan p = fftw_plan_dft_r2c_1d(N, in, out, FFTW_ESTIMATE);

    // bemeneti jel feltöltése
    for (int i = 0; i < N; ++i)
        in = sin(2 * M_PI * 100 * i / N); // 100 Hz szinusz

    fftw_execute(p); // végrehajtás

    // amplitúdók kiírása
    for (int i = 0; i < N/2 + 1; ++i)
        std::cout << "Freq " << i << ": " << sqrt(out*out + out*out) << "\n";

    fftw_destroy_plan(p);
    fftw_free(in);
    fftw_free(out);
}

A Fourier-transzformáció eredménye egy komplex számokból álló sorozat, ahol minden elem:

• frekvenciát képvisel
• abszolút értéke (modulusa) → amplitúdó
• argumentuma (szöge) → fázis

Ez alapján az eredeti jel teljesen visszaállítható (ha nem veszítünk el információt).

• Fourier-sor: csak periodikus jelekhez, sorozatként írja fel a jelet szinusz-komponensekkel
• Laplace-transzformáció: általánosítás, a komplex sík egészére kiterjeszti
• Z-transzformáció: diszkrét rendszerek frekvenciaelemzése
• Hilbert-transzformáció: fázisinformáció feldolgozás

A Fourier-transzformáció egy kulcseszköz az idő-frekvencia világ közötti átalakításhoz. Használatával bármilyen jelet frekvenciaösszetevőire bonthatunk, amit utána szűrhetünk, értékelhetünk, tömöríthetünk vagy módosíthatunk. Alkalmazása nélkülözhetetlen a modern technológiában – a hangrögzítéstől a mobilkommunikáción át egészen az MRI-képalkotásig.

• Fourier transform - Szótár.net (en-hu)
• Fourier transform - Sztaki (en-hu)
• Fourier transform - Merriam–Webster
• Fourier transform - Cambridge
• Fourier transform - WordNet
• Fourier transform - Яндекс (en-ru)
• Fourier transform - Google (en-hu)
• Fourier transform - Wikidata
• Fourier transform - Wikipédia (angol)