Gödel első nemteljességi tétele

• IPA:

Gödel első nemteljességi tétele

1. (matematika, logika) Minden ellentmondásmentes, a természetes számok elméletét tartalmazó, formális-axiomatikus elméletben megfogalmazható olyan állítás, mely se nem bizonyítható, se nem cáfolható.

A **Gödel első nemteljességi tétele** a matematika alapjainak egyik legfontosabb eredménye, amely kimondja:

Ez azt jelenti, hogy egy adott formális rendszer vagy nem teljes, vagy nem ellentmondásmentes.

Ha egy formális rendszer ${\displaystyle S}$ megfelel az alábbi követelményeknek:

1. **Konzisztens**: A rendszerben nem vezethető le ellentmondás (${\displaystyle A}$ és ${\displaystyle \neg A}$).
2. **Rekurzívan felsorolható**: A rendszer axiómái és levezetési szabályai algoritmikusan felsorolhatók.
3. **Elegendően gazdag**: A rendszer képes kifejezni az alapvető aritmetikai állításokat (például a természetes számok elméletét),

akkor létezik egy ${\displaystyle G}$ (Gödel-formula) állítás, amelyre igaz:

• ${\displaystyle G}$ igaz a természetes számok szokásos modelljében, de
• ${\displaystyle G}$-t nem lehet bizonyítani ${\displaystyle S}$-ben, és ${\displaystyle \neg G}$-t sem lehet cáfolni.

Gödel tételének alapja a formális rendszerek szimbolikus kódolása, amely az alábbi lépésekből áll:

- A formális rendszer állításait és bizonyításait természetes számokként kódoljuk, úgynevezett **Gödel-számok** segítségével. - Minden állításhoz egy egyedi számot rendelünk.

- A formális rendszeren belül az axiómákat, állításokat és bizonyításokat a számelmélet nyelvén lehet kifejezni.

- Gödel egy olyan ${\displaystyle G}$ állítást konstruált, amely kijelenti: „Ez az állítás nem bizonyítható”.

Minden formális állítást, bizonyítást és axiómát kódoljunk természetes számként Gödel-számok segítségével. Ez lehetővé teszi, hogy a formális rendszer szimbólumait és szabályait a számelmélet nyelvén írjuk le.

Gödel megmutatta, hogy az olyan fogalmak, mint „bizonyítás” és „levezethetőség”, rekurzívan definiálhatók a számelméletben.

Gödel létrehozott egy ${\displaystyle G}$ formulát, amely azt mondja: „${\displaystyle G}$ nem bizonyítható a formális rendszerben”. Formálisan: ${\displaystyle G\leftrightarrow \neg {\text{Prov}}(G),}$ ahol ${\displaystyle {\text{Prov}}(G)}$ azt jelenti, hogy ${\displaystyle G}$ bizonyítható.

1. Ha ${\displaystyle G}$ bizonyítható lenne, akkor ${\displaystyle G}$ szerint ${\displaystyle G}$ nem bizonyítható, ami ellentmondás.
2. Ha ${\displaystyle \neg G}$ bizonyítható lenne, akkor ${\displaystyle G}$ igaz lenne, mert ${\displaystyle G\leftrightarrow \neg {\text{Prov}}(G)}$, ami szintén ellentmondás.

Ezért sem ${\displaystyle G}$, sem ${\displaystyle \neg G}$ nem bizonyítható a formális rendszerben. Ugyanakkor ${\displaystyle G}$ igaz a természetes számok szokásos modelljében, mivel valóban nem bizonyítható.

1. **Tétel korlátai**:

  - A tétel csak az elegendően gazdag rendszerekre vonatkozik.
  - A tétel nem állítja, hogy a formális rendszer ellentmondásos lenne, csak azt, hogy nem teljes.

1. **Második nemteljességi tétel**:

  - Gödel második nemteljességi tétele azt mondja ki, hogy egy formális rendszer nem bizonyíthatja a saját konzisztenciáját, ha elegendően gazdag.

1. **Gyakorlati jelentőség**:

  - A tétel megmutatja, hogy a matematika formális alapjainak teljes rendszerezése nem lehetséges.

Tekintsük a Peano-aritmetikát (${\displaystyle PA}$).

Minden állításhoz és bizonyításhoz rendelünk egy Gödel-számot.

Konstruáljunk egy ${\displaystyle G}$ állítást, amely azt mondja: „Nem létezik ${\displaystyle n}$ szám, amely Gödel-számként bizonyítja ${\displaystyle G}$-t”.

${\displaystyle G}$ igaz, mert nincs olyan ${\displaystyle n}$, amely ${\displaystyle G}$-t bizonyítaná, de ezt nem lehet ${\displaystyle PA}$-ban bizonyítani.

def godel_numbering(symbols):
    """
    Egyszerű Gödel-számozás egy szimbólumkészlethez.

    Args:
        symbols: A szimbólumok listája.

    Returns:
        A szimbólumok Gödel-számai.
    """
    prime_numbers =   # Első néhány prímszám
    godel_map = {symbols: prime_numbers for i in range(len(symbols))}
    return godel_map

def godel_encoding(expression, godel_map):
    """
    Gödel-szám generálása egy adott kifejezéshez.

    Args:
        expression: A kifejezés karakterek listájaként.
        godel_map: A Gödel-számokat tartalmazó szimbólumtérkép.

    Returns:
        A kifejezés Gödel-száma.
    """
    godel_number = 1
    for i, symbol in enumerate(expression):
        godel_number *= godel_map ** (i + 1)
    return godel_number

# Példa használat
symbols = 
godel_map = godel_numbering(symbols)
expression = 
godel_number = godel_encoding(expression, godel_map)

print(f"Gödel-térkép: {godel_map}")
print(f"A '{''.join(expression)}' kifejezés Gödel-száma: {godel_number}")

Gödel-térkép: {'A': 2, 'B': 3, 'C': 5, 'D': 7}
A 'ABC' kifejezés Gödel-száma: 300

A **Gödel első nemteljességi tétele** alapvető szerepet játszik a matematika filozófiájában és a formális rendszerek megértésében. A tétel megmutatja, hogy minden elegendően gazdag formális rendszerben szükségszerűen léteznek nem bizonyítható igazságok. Ez korlátozza a formális rendszerek képességeit, és mély filozófiai kérdéseket vet fel a matematika természetéről.

• Gödel első nemteljességi tétele - Értelmező szótár (MEK)
• Gödel első nemteljességi tétele - Etimológiai szótár (UMIL)
• Gödel első nemteljességi tétele - Szótár.net (hu-hu)
• Gödel első nemteljességi tétele - DeepL (hu-de)
• Gödel első nemteljességi tétele - Яндекс (hu-ru)
• Gödel első nemteljességi tétele - Google (hu-en)
• Gödel első nemteljességi tétele - Helyesírási szótár (MTA)
• Gödel első nemteljességi tétele - Wikidata
• Gödel első nemteljességi tétele - Wikipédia (magyar)