Laplace-egyenlet

• IPA:

Laplace-egyenlet

1. (matematika) A Laplace-egyenlet egy másodfokú parciális differenciálegyenlet, amely számos területen fontos szerepet játszik, például a fizikában, a matematikai analízisben, a geometriában és a mérnöki tudományokban. A Laplace-egyenlet a következő formában írható fel:

Laplace-egyenlet Definíciója

Egy ${\textstyle u(x,y)}$ függvény Laplace-egyenlete a síkban:

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0}$$

A háromdimenziós térben a Laplace-egyenlet a következőképpen néz ki:

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0}$$

Jellemzők 1. Harmonicitás: A Laplace-egyenlet megoldásai (azaz a ${\textstyle u}$ függvények) harmónikus függvények, ami azt jelenti, hogy a megoldásoknak sok érdekes tulajdonságuk van, például folytonosek és a maximum elv érvényes rájuk.

2. Lineáris: A Laplace-egyenlet lineáris, így ha ${\textstyle u_{1}}$ és ${\textstyle u_{2}}$ két megoldás, akkor bármely ${\textstyle c_{1},c_{2}}$ konstans esetén ${\textstyle c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}}$ szintén megoldás.

3. Határfeltételek: A Laplace-egyenlet megoldásához általában határfeltételek szükségesek, amelyek megadják a megoldás viselkedését a vizsgált tartomány határain.

Alkalmazások 1. Fizika: A Laplace-egyenlet fontos szerepet játszik a potenciálelméletben, elektromágneses mezőkben, hőátadásban és más fizikai jelenségekben.

2. Matematikai Analízis: A harmonicitás és a laplace-függvények vizsgálata szoros kapcsolatban áll a matematikai analízis különböző ágával.

3. Geometria: A Laplace-egyenlet használható a geometriában is, például a felületek és görbületek vizsgálatában.

Összegzés A Laplace-egyenlet egy alapvető parciális differenciálegyenlet, amely jelentős szerepet játszik a tudomány különböző területein. A megoldásai sok érdekes matematikai és fizikai tulajdonsággal rendelkeznek, és gyakran használják különböző alkalmazásokban, hogy modellezzék a komplex rendszerek viselkedését.

• angol: Laplace's equation (en)
• francia: équation de Laplace (fr)
• német: Laplace-Gleichung (de)
• orosz: уравнение Лапласа (ru) (uravnenije Laplasa)

• Laplace-egyenlet - Értelmező szótár (MEK)
• Laplace-egyenlet - Etimológiai szótár (UMIL)
• Laplace-egyenlet - Szótár.net (hu-hu)
• Laplace-egyenlet - DeepL (hu-de)
• Laplace-egyenlet - Яндекс (hu-ru)
• Laplace-egyenlet - Google (hu-en)
• Laplace-egyenlet - Helyesírási szótár (MTA)
• Laplace-egyenlet - Wikidata
• Laplace-egyenlet - Wikipédia (magyar)