Stirling's approximation

Stirling's approximation (tsz. Stirling's approximations)

1. (informatika) A Stirling-közelítés egy aszimptotikus képlet a faktoriális számítására nagy ${\textstyle n}$ értékek esetén. Nagyon hasznos a kombinatorikában, valószínűségszámításban és statisztikában.

A Stirling-féle közelítő képlet így szól:

$${\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$$

vagy logaritmikus formában:

$${\displaystyle \ln n!\approx n\ln n-n}$$

Ez utóbbi a log-faktoriális egyszerűsítésére szolgál.

• Ez egy aszimptotikus közelítés, tehát egyre pontosabb, ahogy ${\textstyle n\to \infty }$.
• Például: már ${\textstyle n=10}$ esetén is meglepően pontos.

• Binomiális eloszlás közelítése
• Információelmélet (pl. entropia kiszámításakor)
• Kombinatorikai képletek egyszerűsítése
• Számelméleti becslések

Számoljuk ki a következőt közelítőleg:

$${\displaystyle 10!\approx {\sqrt {2\pi \cdot 10}}\cdot \left({\frac {10}{e}}\right)^{10}}$$

Ez ≈ 3598695.6, míg a pontos érték:

$${\displaystyle 10!=3628800}$$

A relatív hiba mindössze kb. 0.8%, ami elég jó.

Pontosabb változatok is léteznek, például:

$${\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-\cdots \right)}$$

Ez a Stirling-sor első néhány tagja, ami tovább javítja a közelítést.

• Stirling's approximation - Szótár.net (en-hu)
• Stirling's approximation - Sztaki (en-hu)
• Stirling's approximation - Merriam–Webster
• Stirling's approximation - Cambridge
• Stirling's approximation - WordNet
• Stirling's approximation - Яндекс (en-ru)
• Stirling's approximation - Google (en-hu)
• Stirling's approximation - Wikidata
• Stirling's approximation - Wikipédia (angol)