Taylor-sor

• IPA:

Taylor-sor

1. (matematika)

A matematikában Taylor-sornak nevezünk hatványfüggvényeknek egy speciális alakú függvénysorát. A Taylor-sorok határértékben gyakran előállítanak bonyolultabb függvényeket (például trigonometrikus vagy hiperbolikus függvényeket), melyek közelítő értékei így pusztán hatványozással kiszámíthatók. A függvények Taylor-sor alakjában történő felírását a függvények hatványsorba fejtésének nevezzük.

Legyen ${\displaystyle \sum (c_{n}\cdot (x-a)^{n})}$ az a pont körüli valós (vagy komplex) hatványsor és legyen ennek konvergenciatartománya a valós (vagy komplex) számok V részhalmaza. Azt mondjuk, hogy ∑(c_n(x-a)ⁿ) Taylor-sor, ha létezik olyan f, az a pont egy környezetén értelmezett, az a pontban végtelenszer differenciálható (valós vagy komplex) függvény, hogy minden n nemnegatív egész számra

${\displaystyle c_{n}={\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}}$,

ahol ${\displaystyle f^{(n)}(a)}$ az f függvény a-beli n-edik deriváltját jelöli (vagyis a megállapodás szerint f ⁽⁰⁾ = f, f ⁽¹⁾ = f ' , f ⁽²⁾ = f " , …), n! pedig az n szám faktoriálisa.

Azaz a ∑ ( c_n(x-a)ⁿ ) Taylor-sor összegfüggvénye ( T ) minden egyes x ∈ V pontban:

${\displaystyle T(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}$

Úgy is szokás fogalmazni, hogy a fenti sor az f függvény a ponthoz tartozó Taylor-sora. Ebben az esetben az f függvény a pont körüli Taylor-sorának összegfüggvényét ${\displaystyle T_{a}^{f}}$ jelöli.

Amennyiben a hatványsor középpontja 0, azaz a sorösszeg

${\displaystyle T(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}}$,

akkor a Taylor-sort még Maclaurin-sornak is nevezzük.

• angol: Taylor series (en)
• francia: série de Taylor (fr)
• német: Taylorreihe (de)
• orosz: ряд Тейлора (ru) (rjad Tejlora)

• Taylor-sor - Értelmező szótár (MEK)
• Taylor-sor - Etimológiai szótár (UMIL)
• Taylor-sor - Szótár.net (hu-hu)
• Taylor-sor - DeepL (hu-de)
• Taylor-sor - Яндекс (hu-ru)
• Taylor-sor - Google (hu-en)
• Taylor-sor - Helyesírási szótár (MTA)
• Taylor-sor - Wikidata
• Taylor-sor - Wikipédia (magyar)