Verlet integration

Verlet integration (tsz. Verlet integrations)

1. (informatika)

A Verlet-integráció egy numerikus módszer, amelyet gyakran használnak fizikai szimulációkhoz, például bolygók mozgásához, molekuláris dinamikához, és játékokban a karakterek vagy tárgyak mozgásának szimulációjához.

A másodrendű mozgásegyenletek megoldására szolgál, és az alábbi képleten alapul:

$${\displaystyle x(t+\Delta t)=2x(t)-x(t-\Delta t)+a(t)(\Delta t)^{2}}$$

ahol: - ${\textstyle x(t)}$ a jelenlegi pozíció, - ${\textstyle x(t-\Delta t)}$ az előző időpontbeli pozíció, - ${\textstyle a(t)}$ az adott pillanatban ható gyorsulás, - ${\textstyle \Delta t}$ az időlépés.

A fő előnye az, hogy nincs szükség sebesség tárolására, mert a pozíciók alapján lehet számolni.

Ez a program egy tömegpontot szimulál, amelyet a gravitációs erő mozgat.

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

// Gravitációs gyorsulás (m/s^2)
const double g = 9.81; 

// Időlépés
const double dt = 0.01; 

// Szimuláció hossza (másodpercben)
const double simTime = 2.0;

int main() {
    // Kezdeti feltételek
    double x_prev = 0.0;  // Kezdeti helyzet t-dt-nél (előző időpont)
    double x = 10.0;      // Kezdeti helyzet t=0-nál (magasság 10m)
    
    double a = -g; // Csak a gravitáció hat

    // Szimuláció
    for (double t = 0; t < simTime; t += dt) {
        // Verlet-integráció új pozíció számításához
        double x_new = 2 * x - x_prev + a * dt * dt;

        // Kiírás konzolra
        cout << "Idő: " << t << "s, Pozíció: " << x << "m" << endl;

        // Frissítés a következő lépéshez
        x_prev = x;
        x = x_new;
    }

    return 0;
}

1. Kezdeti értékek:
   • A tárgy 10 méter magasról indul.
   • Az előző helyzet kezdetben 0 m (fixálva).
   • A gyorsulás -9.81 m/s² (csak a gravitáció hat rá).
2. Fő ciklus (szimuláció lépései):
   • Minden iterációban a Verlet képlet alapján számítjuk az új helyzetet.
   • Kiírjuk az aktuális időt és pozíciót.
   • A régi pozíciókat frissítjük a következő lépéshez.

Idő: 0s, Pozíció: 10m
Idő: 0.01s, Pozíció: 9.99902m
Idő: 0.02s, Pozíció: 9.99608m
...
Idő: 1.98s, Pozíció: 0.199m
Idő: 1.99s, Pozíció: 0.0981m

Ez azt mutatja, hogy az objektum szabadesésben gyorsulva mozog lefelé.

✔ Pontosabb, mint az Euler-módszer: Mivel közvetlenül a második deriváltból (gyorsulásból) számítunk, kevesebb numerikus hiba keletkezik.
✔ Nincs szükség sebesség tárolására, mert a pozíciók közvetlenül elegendő információt adnak.
✔ Játékfejlesztésben és fizikában is gyakori, pl. csontfizika, molekuláris dinamika, gravitációs szimulációk.

• Verlet integration - Szótár.net (en-hu)
• Verlet integration - Sztaki (en-hu)
• Verlet integration - Merriam–Webster
• Verlet integration - Cambridge
• Verlet integration - WordNet
• Verlet integration - Яндекс (en-ru)
• Verlet integration - Google (en-hu)
• Verlet integration - Wikidata
• Verlet integration - Wikipédia (angol)