automorfizmus

• IPA:

automorfizmus

1. (matematika) Az absztrakt algebra csoportelmélet nevű ágában automorfizmus a neve az olyan bijektív leképezésnek, amely művelettartó és egy csoportot önmagára képez le.

Definíció

Legyen ${\displaystyle G}$ egy csoport, és legyen ${\displaystyle \varphi :G\rightarrow G}$ bijektív leképezés (azaz ${\displaystyle G}$ különböző elemeihez ${\displaystyle \varphi }$ különböző elemeket rendel, és ${\displaystyle G}$ minden eleme előáll ${\displaystyle G}$ valamely elemének képeként). Ezt a leképezést automorfizmusnak nevezzük, ha bármely ${\displaystyle a,b\in G}$-re ${\displaystyle \ \varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)}$. Az automorfizmusok tehát olyan izomorfizmusok, amelyek egy csoportot önmagára képeznek le.

• Tetszőleges csoportnak automorfizmusa az identikus leképezés, vagyis az a leképezés, amely minden elemhez saját magát rendeli. Ezt az automorfizmust szokás triviális automorfizmusnak nevezni.
• A valós számok additív csoportjának automorfizmusa az a leképezés, amely minden valós számhoz a háromszorosát rendeli.
• A sík egybevágóságai által alkotott csoportnak automorfizmusa az a leképezés, amely minden ${\displaystyle S}$ egybevágósághoz a ${\displaystyle TST}$ egybevágóságot rendeli, ahol ${\displaystyle T}$ egy adott egyenesre való tükrözés.

• angol: automorphism (en)