cumulative distribution function

Angol

Főnév

cumulative distribution function (tsz. cumulative distribution functions)

(informatika) eloszlásfüggvény

A cumulative distribution function (röviden: CDF, magyarul: eloszlásfüggvény) egy valószínűségi változó eloszlását leíró alapvető fogalom, amely azt mondja meg, hogy egy adott értéknél kisebb vagy vele egyenlő érték bekövetkezésének valószínűsége mennyi.

📌 Definíció

Legyen ${\textstyle X}$ egy valószínűségi változó. Az eloszlásfüggvény:

$F(x)=P(X\leq x)$

Ez azt adja meg, hogy az ${\textstyle X}$ változó milyen valószínűséggel vesz fel ${\textstyle x}$ -nél kisebb vagy egyenlő értéket.

🧮 Típusok szerint

1. Diszkrét valószínűségi változó esetén:

Például ha:

${\textstyle P(X=1)=0.2}$
${\textstyle P(X=2)=0.5}$
${\textstyle P(X=3)=0.3}$

A CDF így alakul:

${\textstyle F(1)=0.2}$
${\textstyle F(2)=0.2+0.5=0.7}$
${\textstyle F(3)=1.0}$

Általánosan:

$F(x)=\sum _{t\leq x}P(X=t)$

2. Folytonos valószínűségi változó esetén:

Például egy normális eloszlásnál:

$F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt$

Ahol ${\textstyle f(t)}$ a sűrűségfüggvény (PDF).

📈 Tulajdonságai

Tulajdonság	Magyarázat
${\textstyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0}$	Kezdőérték
${\textstyle \lim _{x\to \infty }F(x)=1}$	Végérték
Monoton növekvő	Soha nem csökken
Jobboldali folytonosság	Minden ${\textstyle x}$ -re ${\textstyle F(x^{+})=F(x)}$
Deriváltja a sűrűségfüggvény (ha létezik)	${\textstyle f(x)=F'(x)}$

📊 Példa: Normális eloszlás

Ha ${\textstyle X\sim N(0,1)}$ (standard normális eloszlás), akkor a CDF ${\textstyle F(x)}$ egy S-alakú görbe, amely ${\textstyle -\infty }$ -tól ${\textstyle \infty }$ -ig nő 0-ról 1-re.