kovariancia

Magyar

Kiejtés

IPA:

Főnév

kovariancia

(matematika, valószínűségszámítás) A kovariancia a valószínűségszámítás és a statisztika tárgykörébe tartozó mennyiség, ami megadja két egymástól különböző változó együttmozgását. Kis értékei gyenge, nagy értékei erős lineáris összefüggésre utalnak. Nem normált; normálással a korrelációt kapjuk.

Definíció

Létezésének szükséges feltétele, hogy létezzen mindkét véletlen valószínűségi változó, továbbá szorzatuk várható értéke. Ez biztosan teljesül, ha $X$ és $Y$ négyzetesen integrálható, azaz $\operatorname {E} (|X|^{2})<\infty$ és $\operatorname {E} (|Y|^{2})<\infty$ . Értéke $\operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} \left(\left(X-\operatorname {E} (X)\right)\left(Y-\operatorname {E} (Y)\right)\right)$ , ahol E az úgynevezett várhatóérték-operátor.

Folytonos és diszkrét valószínűségi változók kovarianciája:

\operatorname {Cov} (X,Y)={\begin{cases}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}f(x_{i},y_{j})(x_{i}-\operatorname {E} (X))(y_{j}-\operatorname {E} (Y))&{\text{ha X és Y diszkrét}}\\\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }f(x,y)(x-\operatorname {E} (X))(y-\operatorname {E} (Y))\mathrm {d} x\mathrm {d} y&{\text{ha X és Y folytonos}}\end{cases}}

.

Az n elemű $\mathbf {x} {\text{ és }}\mathbf {y}$ statisztikai minta tapasztalati (empirikus) kovarianciáját az alábbi képlettel adjuk meg:

${\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)\left(y_{i}-{\bar {y}}\right)}{n-1}}$ , ahol $x_{i}$ az ${\textbf {x}}$ , $y_{i}$ az ${\textbf {y}}$ minta $i$ . eleme, ${\bar {x}}$ és ${\bar {y}}$ pedig az $\mathbf {x}$ és az $\mathbf {y}$ minták mintaátlagai. (Ugyanez a képlet átalakítható az ${\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}-{\frac {n}{n-1}}{\bar {x}}{\bar {y}}$ formára)