mathematical logic

mathematical logic (tsz. mathematical logics)

1. (informatika) matematikai logika

A mathematical logic, vagyis matematikai logika, a matematika és a logika határterülete, amely a formális gondolkodás, következtetés, bizonyítás és igazság vizsgálatával foglalkozik. Célja a matematikai állítások szigorú nyelvi és szimbolikus leírása, valamint annak vizsgálata, hogy milyen szabályok alapján következtethetünk érvényesen új állításokra.

A matematikai logika négy klasszikus főágra bontható:

• Propozíciós logika: állításokkal (pl. „Az ég kék”) és azok logikai kapcsolatával (ÉS, VAGY, NEM) foglalkozik
• Predikátumlogika (elsőrendű logika): kvantorokat (∀: minden, ∃: létezik) és változókat is kezel
• Alkalmazás: formális bizonyítás, programellenőrzés

• Azt vizsgálja, milyen struktúrákban teljesülnek adott logikai képletek
• Példa: Egyenletrendszerek megoldásainak interpretálása egy algebrai struktúrában
• Kapcsolódás: algebra, geometria, logikai következmény

• A bizonyítás formális szerkezetét és szabályait vizsgálja
• Cél: mely állítások bizonyíthatók, milyen lépésekből áll egy bizonyítás
• Kapcsolódás: automatikus tételbizonyítás, aritmetika konzisztenciája

• Mit lehet számításilag elvégezni, és mi nem számolható ki algoritmikusan
• Tárgyalja a Turing-gépet, rekurzív függvényeket, megállási problémát

• Formális nyelv: szimbólumok és szabályok rendszere logikai kifejezések leírására
• Axiomák: kiinduló, elfogadott igazságok
• Tételek: az axiomákból levezetett állítások
• Bizonyítás: szabályos lépések sorozata egy állítás igazolására
• Következtetési szabályok: pl. modus ponens, modus tollens

• Nincs olyan axiomarendszer, amely egyszerre teljes és ellentmondásmentes az aritmetikában
• Azaz mindig lesznek olyan igaz állítások, amik nem bizonyíthatók az adott rendszerben

• A „számítható” fogalma ekvivalens a Turing-gépekkel kiszámíthatóval

• Ha minden véges része egy képletcsaládnak kielégíthető, akkor az egész is kielégíthető

• Set theory (halmazelmélet): a matematika alapjainak formalizálása
• Kategóriaelmélet: alternatív logikai keretrendszerek
• Tételbizonyító rendszerek: Coq, Isabelle, HOL, Lean
• Formális verifikáció: szoftverek és hardverek helyességbizonyítása
• Mesterséges intelligencia: logikai következtetés, szabályalapú rendszerek

A matematikai logika az elméleti számítástechnika alapja:

• Algoritmuselmélet
• Programnyelvek szintaktikája és szemantikája
• Automaták és formális nyelvek
• Prolog: deklaratív logikai programozás

• Propozíciós formula:

  $${\displaystyle (P\land Q)\to R}$$

• Elsőrendű formula:

  $${\displaystyle \forall x\ \exists y\ (x<y)}$$

  Jelentés: Minden számhoz létezik nála nagyobb szám.

A matematikai logika a formális rendszerek alapvető szerkezetét vizsgálja, és létfontosságú a matematika, informatika, filozófia és mesterséges intelligencia szempontjából. Segítségével a matematikai állítások és következtetések szigorúan levezethetők és ellenőrizhetők, és megérthetővé válnak az emberi és gépi gondolkodás formális határai.

• mathematical logic - Szótár.net (en-hu)
• mathematical logic - Sztaki (en-hu)
• mathematical logic - Merriam–Webster
• mathematical logic - Cambridge
• mathematical logic - WordNet
• mathematical logic - Яндекс (en-ru)
• mathematical logic - Google (en-hu)
• mathematical logic - Wikidata
• mathematical logic - Wikipédia (angol)