mathematical optimization

mathematical optimization (tsz. mathematical optimizations)

1. (informatika) A matematikai optimalizálás célja egy függvény legjobb (maximum vagy minimum) értékének megtalálása egy adott feltételrendszer mellett. Ez az érték lehet például a költség minimalizálása, a profit maximalizálása, vagy egy rendszer teljesítményének optimalizálása.

Más néven: matematikai programozás, numerikus optimalizálás vagy egyszerűen optimalizálás.

Matematikailag az optimalizálási probléma általános alakja:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Cél:}}\quad &\min _{x\in \mathbb {R} ^{n}}f(x)\\{\text{Mellett:}}\quad &g_{i}(x)\leq 0\quad {\text{(egyenlőtlenségek)}}\\&h_{j}(x)=0\quad {\text{(egyenlőségek)}}\\&x\in X\subseteq \mathbb {R} ^{n}\end{aligned}}}$$

ahol:

• ${\textstyle x}$: döntési változók vektora (pl. ár, mennyiség, idő)
• ${\textstyle f(x)}$: célfüggvény (amit minimalizálni vagy maximalizálni akarunk)
• ${\textstyle g_{i}(x)}$: egyenlőtlenségi korlátok (pl. erőforrás korlát)
• ${\textstyle h_{j}(x)}$: egyenlőségi korlátok (pl. egyensúlyi feltétel)
• ${\textstyle X}$: a változók értelmezési tartománya (pl. nemnegatív számok)

• Minden függvény lineáris.
• Gyors, stabil algoritmusok léteznek: Simplex, interior point.

• Változók csak egész értékeket vehetnek fel (pl. 0 vagy 1).
• Nagyon fontos pl. menetrendkészítésnél.

• A célfüggvény vagy valamelyik korlát nemlineáris.
• Nehezebb, gyakran iteratív numerikus módszerek kellenek.

• A megoldási tér véges, de nagyon nagy (pl. gráfproblémák: útvonal, párosítás).
• Ide tartozik a Travelling Salesman Problem, hátizsákprobléma, hozzárendelési feladat.

• Időfüggő döntések sorozata.
• Dinamikus programozással vagy vezérléselmélettel oldható.

A függvény valódi legkisebb vagy legnagyobb értéke az összes lehetséges pont közül.

A függvény csak egy kis környezetében legjobb – de nem feltétlenül a teljes tartományban.

$${\displaystyle \nabla f(x^{*})=0}$$

• Szükséges feltételek nemlineáris, egyenlőtlenséges feladatokhoz.
• A Lagrange-függvény bevezetése révén kezelik a korlátokat.

• Ha a célfüggvény és a megengedett tartomány konvex, akkor minden lokális optimum globális is.
• Nagyon sok algoritmus jól működik konvex esetben.

• Több lokális optimum → nehezebb globális megoldást találni.
• Gyakran csak heurisztikus vagy sztochasztikus megközelítésekkel oldható meg (pl. genetikus algoritmusok).

from scipy.optimize import linprog

# Max: 3x + 5y → Min: -3x - 5y
c = 
A = , , ]
b = 

res = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b, method='highs')
print("Optimális megoldás:", res.x)
print("Optimális érték:", -res.fun)

A matematikai optimalizálás mindenütt jelen van, ahol racionális döntések szükségesek. A cél mindig az, hogy valamely erőforrást a lehető leghatékonyabban használjunk ki.

• Optimalizálás = legjobb döntés egy szabályrendszer szerint
• Függhet az időtől, lehet lineáris vagy nemlineáris
• A megoldási módszerek széles tárháza áll rendelkezésre
• Széles alkalmazási kör: ipar, közgazdaságtan, mesterséges intelligencia, robotika

• mathematical optimization - Szótár.net (en-hu)
• mathematical optimization - Sztaki (en-hu)
• mathematical optimization - Merriam–Webster
• mathematical optimization - Cambridge
• mathematical optimization - WordNet
• mathematical optimization - Яндекс (en-ru)
• mathematical optimization - Google (en-hu)
• mathematical optimization - Wikidata
• mathematical optimization - Wikipédia (angol)