moment-generating function

Angol

Főnév

moment-generating function (tsz. moment-generating functions)

(informatika) momentumgeneráló függvény

A moment-generating function (röviden: MGF) egy valószínűségeloszlást leíró függvény, amely a valószínűségi változó momentumait (várható érték, szórás, stb.) tartalmazza. Az MGF hasznos eszköz statisztikában, különösen eloszlások azonosítására, jellemzésére, és összegzett eloszlások levezetésére.

📐 Definíció

Legyen ${\textstyle X}$ egy valószínűségi változó. Az MGF definíciója:

$M_{X}(t)=\mathbb {E}$

Ez a várható érték ${\textstyle e^{tX}}$ -re, ahol ${\textstyle t}$ egy valós paraméter. Az MGF egyfajta generátorfüggvény, amely minden momentumot tartalmaz:

Az ${\textstyle n}$ -edik momentum:

$\mu _{n}=\mathbb {E} =M_{X}^{(n)}(0)$

🧮 Példák

Diszkrét valószínűségi változó esetén:

$M_{X}(t)=\sum _{x}e^{tx}\cdot P(X=x)$
Folytonos valószínűségi változó esetén:

$M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\cdot f_{X}(x)\,dx$

📊 Használat

Momentumok meghatározása:

$\mu _{1}=M_{X}'(0)={\text{várható érték}}\quad \mathbb {E}$

$\mu _{2}=M_{X}''(0)={\text{második momentum}}\quad \Rightarrow {\text{Var}}(X)=\mu _{2}-\mu _{1}^{2}$
Két eloszlás egyenlőségének ellenőrzése: Ha két változó MGFe megegyezik egy nyílt intervallumon, akkor az eloszlásuk is megegyezik.
Összegzett változók eloszlása: Ha ${\textstyle X}$ és ${\textstyle Y}$ függetlenek, akkor:

$M_{X+Y}(t)=M_{X}(t)\cdot M_{Y}(t)$

🎲 Példák eloszlásokra

Eloszlás	MGF
Bernoulli( ${\textstyle p}$ )	${\textstyle M(t)=(1-p+pe^{t})}$
Binomiális( ${\textstyle n,p}$ )	${\textstyle M(t)=(1-p+pe^{t})^{n}}$
Normális( ${\textstyle \mu ,\sigma ^{2}}$ )	${\textstyle M(t)=\exp(\mu t+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2})}$
Exponenciális( ${\textstyle \lambda }$ )	${\textstyle M(t)={\frac {\lambda }{\lambda -t}}}$ , ${\textstyle t<\lambda }$

⚠️ Megjegyzés

Az MGF nem mindig létezik. Ha az ${\textstyle \mathbb {E} }$ végtelen, akkor az adott ${\textstyle t}$ -re nem definiált. Emiatt sok esetben helyette a characteristic function-t (jellemző függvény) használják, ami mindig létezik.