momentumok

• IPA:

momentumok

1. (matematika, valószínűségszámítás) A statisztikában és a valószínűségszámításban a momentumok olyan statisztikai mutatók, amelyek az eloszlás különböző jellemzőit írják le, például az átlagot, a szórást, a ferdeséget és a csúcsosságot. A momentumok segítenek megérteni az adatok eloszlását, formáját és más tulajdonságait.

1. Általános definíció

Egy valószínűségi változó ${\textstyle X}$ ${\textstyle k}$-adik momentumát a következőképpen definiáljuk:

$${\displaystyle E(X^{k})}$$

ahol ${\textstyle E}$ a várható érték, és ${\textstyle k}$ az adott momentum rendje.

A momentumok két fő típusa a nyers (vagy egyszerű) momentumok és a centrális momentumok.

2. Nyers momentumok

A nyers momentumokat az origóhoz képest számítják, és az eloszlás alapvető jellemzőit adják meg:

- Első nyers momentum (${\textstyle E(X)}$): Ez a várható érték, ami az adatok középértékét vagy átlagát jelenti.

- Második nyers momentum (${\textstyle E(X^{2})}$): Segítségével kiszámítható a szórásnégyzet, amely az eloszlás szóródásáról ad információt.

3. Centrális momentumok

A centrális momentumokat az adatok várható értékéhez képest számítják, és az eloszlás formájának jellemzésére szolgálnak:

- Első centrális momentum: Mindig nulla, mivel a várható értéktől való eltérés átlaga nulla.

- Második centrális momentum (${\textstyle E((X-E(X))^{2})}$): Ez a variancia, amely a szóródást méri, és a szórás négyzeteként is ismert.

- Harmadik centrális momentum (${\textstyle E((X-E(X))^{3})}$): Ez a ferdeség (skewness), amely megmutatja, hogy az eloszlás milyen irányban tér el az átlag körül: pozitív ferdeség esetén az eloszlás jobbra nyúlik, negatív ferdeség esetén balra.

- Negyedik centrális momentum (${\textstyle E((X-E(X))^{4})}$): Ez a csúcsosság (kurtosis), amely az eloszlás csúcsának magasságát méri a normál eloszláshoz képest. Ha nagyobb a csúcsosság, az eloszlás hegyesebb.

4. Példa: A normál eloszlás momentumai

A normál eloszlás várható értéke ${\textstyle \mu }$, és szórása ${\textstyle \sigma }$. Az eloszlás különböző momentumai a következők:

- Első momentum: ${\textstyle E(X)=\mu }$ - Második centrális momentum: ${\textstyle \sigma ^{2}}$, ami a variancia. - Harmadik centrális momentum: 0, mivel a normál eloszlás szimmetrikus, így nincs ferdesége. - Negyedik centrális momentum: 3, ami a normál eloszlás csúcsossága (a standard normál eloszlás esetében).

Összefoglalás

A momentumok fontos szerepet játszanak az eloszlások jellemzésében, és segítenek az adatok középértékének, szóródásának, ferdeségének és csúcsosságának leírásában. Az első és második momentumok gyakran használtak, de a harmadik és negyedik momentumok is hasznosak az eloszlás részletesebb elemzéséhez.

• momentumok - Értelmező szótár (MEK)
• momentumok - Etimológiai szótár (UMIL)
• momentumok - Szótár.net (hu-hu)
• momentumok - DeepL (hu-de)
• momentumok - Яндекс (hu-ru)
• momentumok - Google (hu-en)
• momentumok - Helyesírási szótár (MTA)
• momentumok - Wikidata
• momentumok - Wikipédia (magyar)