n-edik egységgyök

• IPA:

n-edik egységgyök

1. (matematika) Az 1 komplex szám ${\displaystyle n}$-edik gyökét n-edik egységgyöknek nevezzük. Az n-edik egységgyök alakja ${\displaystyle \varepsilon _{k}:=\cos {\dfrac {2k\pi }{n}}+i\sin {\dfrac {2k\pi }{n}},\quad k=0,1,\ldots ,n-1}$ A komplex n-edik egységgyökök teljesítik tehát az ${\displaystyle \varepsilon _{k}^{n}=1}$ azonosságot minden ${\displaystyle k=0,1,\ldots ,n-1}$-re. Másrészt ${\displaystyle \varepsilon _{k}=\varepsilon _{1}^{k},\quad k=0,1,\ldots ,n-1}$ Azaz, az n-edik egységgyökök halmaza ${\displaystyle \left\{\varepsilon _{0},\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots ,\varepsilon _{n-1}\right\}=\left\{1,\varepsilon _{1},\varepsilon _{1}^{2},\ldots ,\varepsilon _{1}^{n-1}\right\}}$

Az n-edik komplex egységgyökök halmaza zárt a szorzás műveletére vonatkozóan, azaz két n-edik egységgyök szorzata n-edik egységgyök. Minden ${\displaystyle 1\leq k,\ell \leq n-1}$-re

${\displaystyle \varepsilon _{k}\varepsilon _{\ell }=\left\{{\begin{array}{l l }{\varepsilon _{k+\ell },}&{{\text{ ha }}k+\ell <n}\\{\varepsilon _{k+\ell -n},}&{{\text{ ha }}k+\ell \geq n}\end{array}}\right.}$

Egy ${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$ komplex szám összes n-edik gyökét felírhatjuk az

${\displaystyle {\sqrt{z}}={\sqrt{r}}\left(\cos \left({\dfrac {\varphi }{n}}+{\dfrac {2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\dfrac {\varphi }{n}}+{\dfrac {2k\pi }{n}}\right)\right)=}$ ${\displaystyle {\sqrt{r}}\left(\cos {\dfrac {\varphi }{n}}+i\sin {\dfrac {\varphi }{n}}\right)\left(\cos {\dfrac {2k\pi }{n}}+i\sin {\dfrac {2k\pi }{n}}\right)}$ alakban, ahol ${\displaystyle k=0,1,\ldots ,n-1.}$

Azaz, ha ${\displaystyle w_{0}:={\sqrt{r}}\left(\cos {\dfrac {\varphi }{n}}+i\sin {\dfrac {\varphi }{n}}\right)}$ jelöli az első n-edik gyökét z-nek, akkor ${\displaystyle w_{0},w_{0}\varepsilon _{1},w_{0}\varepsilon _{1}^{2},\dots ,w_{0}\varepsilon _{1}^{n-1}}$ adja az összes kölönböző ${\displaystyle n}$-edik gyökét ${\displaystyle z}$-nek.

Azt is könnyű ellenőrizni, hogy ha ${\displaystyle w}$ egy tetszőleges rögzített ${\displaystyle n}$-edik gyöke ${\displaystyle z}$-nek, akkor ${\displaystyle w,w\varepsilon _{1},w\varepsilon _{1}^{2},\ldots ,w\varepsilon _{1}^{n-1}}$ adja az összes kölönböző ${\displaystyle n}$-edik gyökét ${\displaystyle z}$-nek. Ehhez csak azt kell észrevenni, hogy az ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ -gyel való szorzás ${\displaystyle {\dfrac {2\pi }{n}}}$ szöggel való elforgatást jelent.

• angol: nth root of unity (en)