vektor szorzása skalárral

• IPA:

vektor szorzása skalárral

1. (matematika, lineáris algebra)

A skalárral való szorzás ötlete a szorzat, mint ismételt összeadás hasonlóságából ered:

${\displaystyle \lambda .{\vec {a}}=\underbrace {{\vec {a}}+{\vec {a}}+\dots +{\vec {a}}} _{\lambda {\text{ darab}}}}$, ha ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {N} }$.

Mivel ebben az esetben a vektor hossza nőtt meg, adja magát, hogy a ${\displaystyle \lambda .{\vec {a}}}$ vektor ${\displaystyle {\vec {a}}}$-val párhuzamos, és annál ${\displaystyle \lambda }$-szor hosszabb bármilyen ${\displaystyle T}$-beli elem esetén.

Mivel ${\displaystyle T}$ elemeit nevezzük skalárnak, adja magát az elnevezés is. A skalár szó ugyan számot jelent, de ez nem jelent problémát, mivel ${\displaystyle T}$ általában számhalmaz, rendszerint a valós vagy komplex számok teste.

Lineáris kombináció

A skalárral való szorzás eredménye vektor, így a vektortér eleme, és az összeadásban tag lehet. Ha adott ${\displaystyle {\vec {a}}}$, ${\displaystyle {\vec {b}}}$ és ${\displaystyle {\vec {c}}}$, valamint ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ és ${\displaystyle \gamma }$ skalárok, akkor lineáris kombinációnak nevezzük az alábbi vektort:

${\displaystyle {\vec {r}}=\alpha .{\vec {a}}+\beta .{\vec {b}}+\gamma .{\vec {c}}}$

Általános alakban írva a lineáris kombináció:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}.{\vec {a_{i}}}}$

Ennek segítségével lehet értelmezni a vektortér dimenzióját is. A nullvektort ugyanis elő lehet állítani

${\displaystyle {\vec {0}}=0.{\vec {a_{1}}}+0.{\vec {a_{2}}}+\dots }$

alakban. Ezt triviális előállításnak nevezzük. Előfordulhat azonban, hogy a zérusvektort nem nulla skalárokkal is megkaphatjuk, ekkor az ${\displaystyle ({\vec {a_{i}}})}$ rendszert lineárisan függőnek mondjuk. A legbővebb olyan rendszert, ami lineárisan független a vektortérben, a tér bázisának nevezzük. A bázis elemszáma lesz a vektortér dimenziója.

Ha pedig van egy bázisunk egy vektortérben, akkor bármely vektor megadható egyértelműen a bázis lineáris kombinációjaként. Az együtthatókat ekkor a vektor koordinátáinak nevezzük. Könnyen belátható, hogy két vektor összegének koordinátái a két vektor koordinátáinak összege.

• angol: scalar multiplication (en)

• vektorművelet