lineáris algebra

• IPA:

lineáris algebra

1. (matematika, lineáris algebra) A lineáris algebra a matematika (konkrétan az algebra) egyik tudományága, mely jelentős geometriai, fizikai és mérnöki alkalmazásokkal rendelkezik (sőt, születtek próbálkozások még a társadalomtudományokban való alkalmazására is (pl.: a modern közgazdaságtudomány elképzelhetetlen lenne lineáris algebra nélkül). Tárgya a vektorok, vektorterek vagy lineáris terek, és lineáris leképezések (a vektorterek homomorfizmusainak) vizsgálata.

A lineáris algebra a matematika egy ága, amely vektorokkal, vektorterekkel, mátrixokkal és lineáris transzformációkkal foglalkozik. Kulcsszerepet játszik a tudomány, a mérnöki tudományok, a gazdaságtan és sok más területen.

A vektor egy olyan matematikai objektum, amelyet általában nagysággal és iránnyal jellemeznek. Algebrai szempontból a vektor egy n-dimenziós valósz vagy komplex számokkal rendelkezo rendezett halmaz:

${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})}$

A vektortér egy olyan halmaz, amelyben a vektorok összeadása és skalárral való szorzása van értelmezve, és ezek kielégítik az alábbi axiomákat:

• Kommutativitás: ${\displaystyle \mathbf {u} +\mathbf {v} =\mathbf {v} +\mathbf {u} }$
• Asszociativitás: ${\displaystyle (\mathbf {u} +\mathbf {v} )+\mathbf {w} =\mathbf {u} +(\mathbf {v} +\mathbf {w} )}$
• Nullvektor létezése: Létezik olyan ${\displaystyle \mathbf {0} }$, hogy ${\displaystyle \mathbf {v} +\mathbf {0} =\mathbf {v} }$
• Invertálhatóság: Létezik olyan ${\displaystyle -\mathbf {v} }$, hogy ${\displaystyle \mathbf {v} +(-\mathbf {v} )=\mathbf {0} }$
• Skaláris szorzás disztributivitása: ${\displaystyle a(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=a\mathbf {u} +a\mathbf {v} }$

A mátrix egy olyan téglalap alakú számelrendezés, amely sorokból és oszlopokból áll:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}}$

A mátrixokat gyakran használják lineáris egyenletrendszerek megoldására és lineáris transzformációk reprezentálására.

A lineáris transzformáció egy olyan leképezés, amely kielégíti az alábbi tulajdonságokat:

• Additivitás: ${\displaystyle T(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=T(\mathbf {u} )+T(\mathbf {v} )}$
• Homogenitás: ${\displaystyle T(a\mathbf {v} )=aT(\mathbf {v} )}$

A Gauss-elimináció módszere a lineáris egyenletrendszerek megoldására szolgál. A lépései: 1. Az egyenletrendszert mátrix formába írjuk. 2. Sorműveletekkel felső háromszög alakú mátrixot kapunk. 3. Visszahelyettesítéssel meghatározzuk az ismeretleneket.

A determináns egy négyzetes mátrixhoz rendelt szám, amelynek fontos szerepe van a mátrix invertálhatóságának eldöntésében. Egy 2x2-es mátrix esetén:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc}$

Egy mátrix eigenértékei és eigenvektorai olyan ${\displaystyle \lambda }$ és ${\displaystyle \mathbf {v} }$, amelyek kielégítik az alábbi egyenletet:

${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$

• Fizika: pl. kvantummechanika (Schrödinger-egyenlet).
• Gépi tanulás: adathalmazok feldolgozása, főkomponens-analízis (PCA).
• Számítástechnika: 3D grafika és transzformációk.
• Gazdaságtan: input-output modellek elemzése.

• angol: linear algebra (en)
• francia: algèbre linéaire (fr)
• német: lineare Algebra (de) nn
• orosz: линейная алгебра (ru) (linejnaja algebra)
• román: algebră liniară (ro)

• lineáris algebra - Értelmező szótár (MEK)
• lineáris algebra - Etimológiai szótár (UMIL)
• lineáris algebra - Szótár.net (hu-hu)
• lineáris algebra - DeepL (hu-de)
• lineáris algebra - Яндекс (hu-ru)
• lineáris algebra - Google (hu-en)
• lineáris algebra - Helyesírási szótár (MTA)
• lineáris algebra - Wikidata
• lineáris algebra - Wikipédia (magyar)