vektortér-axiómák

• IPA:

vektortér-axiómák

1. (matematika, lineáris algebra) Legyen V egy halmaz, ${\displaystyle \Gamma }$ egy test (pl. valós vagy komplex számtest), és legyenek adottak a + : ${\displaystyle V\times V\times V}$ és a ${\displaystyle \cdot :\Gamma \to V\times V}$ műveletek. Tegyük fel, hogy bármely ${\displaystyle a,b,c\in V,\lambda ,\mu \in \Gamma }$ esetén

V1: ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ (asszociativitás)

V2: ${\displaystyle a+b=b+a}$ (kommutativitás)

V3: Létezik olyan ${\displaystyle o\in V}$ elem, hogy bármely ${\displaystyle a\in V}$ esetén ${\displaystyle a+o=a}$ . (nullelem létezése)

V4: Bármely ${\displaystyle a\in V}$ esetén létezik olyan ${\displaystyle a'\in V}$, hogy ${\displaystyle a+a'=o,}$ ahol ${\displaystyle a'=(-1)\cdot a}$ , az ${\displaystyle a}$ ellentettje. (ellentett létezése)

V5: ${\displaystyle (\lambda +\mu )\cdot a=\lambda \cdot a+\mu \cdot a}$

V6: ${\displaystyle \lambda \cdot (a+b)=\lambda \cdot a+\lambda \cdot b}$

V7: ${\displaystyle \lambda \cdot (\mu \cdot a)=(\lambda \cdot \mu )\cdot a}$

V8: ${\displaystyle 1\cdot a=a}$

Ekkor V-t a ${\displaystyle \Gamma }$ test feletti vektortérnek, ${\displaystyle V}$ elemeit vektoroknak, ${\displaystyle \Gamma }$ elemeit skalároknak hívjuk. ${\displaystyle \Gamma =\mathbb {R} }$ esetén valós vektortérről, ${\displaystyle \Gamma =\mathbb {C} }$ esetén komplex vektortérről beszélünk.

A V1-V8 tulajdonságokat vektortér-axiómáknak nevezzük.

• angol: vector space axioms (en)