σ-algebra

• IPA: elavult vagy nem sztenderd karakterek (σ), érvénytelen IPA-karakterek (σ)

σ-algebra

1. (matematika, valószínűségszámítás) A σ-algebra (szigma-algebra) vagy Borel-féle halmaztest, illetve mérhető tér a matematikai struktúrák egy fajtája. Olyan egyszerű (nem-többszörös), egykomponensű topologikus struktúra, amely amellett, hogy egyszerű halmaztestet (halmazalgebrát) képez, az elemei (az ún. „mérhető/nyílt halmazok”) legfeljebb megszámlálhatóan végtelen sok tagú egyesítésére is zárt.

Legyen ${\displaystyle \Omega }$ tetszőleges halmaz, ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )}$ az ${\displaystyle \Omega }$ részhalmazaiból álló hatványhalmaz, és legyen ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )}$ az ${\displaystyle \Omega }$ részhalmazainak egy halmaza.

Az ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ halmazt az ${\displaystyle \Omega }$ halmaz feletti σ-algebrának nevezzük, ha teljesülnek a következő tulajdonságok:

1. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ nem üres, azaz ${\displaystyle {\mathcal {A}}\neq \emptyset }$.

2. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ tartalmazza bármely eleme (${\displaystyle \Omega }$-ra vonatkozó) komplementerét, vagyis zárt a komplementerképzés műveletére, azaz ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}\Rightarrow {\overline {A}}\in {\mathcal {A}}}$.

3. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ tartalmazza bármely legfeljebb megszámlálható halmazcsaládja unióját, vagyis zárt a megszámlálható unióképzésre, azaz ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {A}}(i\in \mathbb {N} )\Rightarrow \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {A}}}$.

A 3. axiómából ered a fogalom elnevezése, mivel az ${\displaystyle \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i}}$-t régies jelöléssel ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }A_{i}}$-nak is szokás írni, vagyis az az egyik követelmény, hogy a halmazok görög nagy szigma betűvel jelölt végtelen szummája is a halmazalgebrába tartozzon. E tulajdonságot egyébként röviden σ-zártságnak szokás nevezni.

• σ-algebra - Értelmező szótár (MEK)
• σ-algebra - Etimológiai szótár (UMIL)
• σ-algebra - Szótár.net (hu-hu)
• σ-algebra - DeepL (hu-de)
• σ-algebra - Яндекс (hu-ru)
• σ-algebra - Google (hu-en)
• σ-algebra - Helyesírási szótár (MTA)
• σ-algebra - Wikidata
• σ-algebra - Wikipédia (magyar)