Cauchy-eloszlás

• IPA:

Cauchy-eloszlás

1. (matematika) A Cauchy-eloszlás egy folytonos valószínűségi eloszlás, amelyet a statisztikában és a valószínűségszámításban gyakran használnak. Különleges jellemzője, hogy a várható értéke és a szórása nem léteznek, ezért a Cauchy-eloszlás nem alkalmazható a klasszikus statisztikai eljárásokban, amelyek a középértékekre és szórásokra támaszkodnak.

Definíció

A Cauchy-eloszlás sűrűségfüggvénye a következő formában van megadva:

$${\displaystyle f(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi \gamma \left(1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right)}}}$$

Ahol: - ${\textstyle x_{0}}$ a hely paraméter (a csúcs helye), - ${\textstyle \gamma }$ a skála paraméter (a csúcs szélessége).

Jellemzők

1. Sűrűségfüggvény: A Cauchy-eloszlás sűrűségfüggvénye szimmetrikus a ${\textstyle x_{0}}$ körül, és csúcsos formát mutat, ami azt jelenti, hogy a valószínűség sűrűsége a középpont körül a legmagasabb.

2. Várható Érték és Szórás: - A Cauchy-eloszlás esetén a várható érték és a szórás nem definiált, mivel a sűrűségfüggvény integrálja nem konvergál. Ezért nem lehet hagyományos értelemben statisztikai középértéket számítani.

3. Eloszlás Függvény: A Cauchy-eloszlás eloszlásfüggvénye:

$${\displaystyle F(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\tan ^{-1}\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)}$$

4. Jellemző Funkció: A Cauchy-eloszlás jellemző funkciója sem létezik, mivel a szórás nem véges.

Példa

Ha ${\textstyle x_{0}=0}$ és ${\textstyle \gamma =1}$ a Cauchy-eloszlásra, akkor a sűrűségfüggvény a következőképpen alakul:

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}}$$

Ez a sűrűségfüggvény a standard Cauchy-eloszlást írja le.

Alkalmazások

- Statisztikai Elmélet: A Cauchy-eloszlás a statisztikai elméletben fontos szerepet játszik, különösen a robusztus statisztikában, mivel a klasszikus módszerek, amelyek a középértékekre támaszkodnak, nem működnek jól. - Fizika és Mérnöki Tudományok: A Cauchy-eloszlás különböző fizikai és mérnöki problémák modellezésére is alkalmazható, például a hullámterjedés, rezonancia jelenségek és más statisztikai minták esetén.

Összegzés

A Cauchy-eloszlás egy különleges eloszlás, amely nem rendelkezik hagyományos várható értékkel és szórással. Különös tulajdonságai miatt a Cauchy-eloszlás fontos eszköz a robusztus statisztikák és a különböző modellek elemzésében.

• angol: Cauchy distribution (en)
• cseh: Cauchyho rozdělení (cs)

• Breit–Wigner eloszlás
• Breit–Wigner formula
• Lorentz-görbe

• Cauchy-eloszlás - Értelmező szótár (MEK)
• Cauchy-eloszlás - Etimológiai szótár (UMIL)
• Cauchy-eloszlás - Szótár.net (hu-hu)
• Cauchy-eloszlás - DeepL (hu-de)
• Cauchy-eloszlás - Яндекс (hu-ru)
• Cauchy-eloszlás - Google (hu-en)
• Cauchy-eloszlás - Helyesírási szótár (MTA)
• Cauchy-eloszlás - Wikidata
• Cauchy-eloszlás - Wikipédia (magyar)