Cauchy-féle középértéktétel

• IPA:

Cauchy-féle középértéktétel

1. (matematika) A Cauchy-féle középértéktétel (vagy Cauchy középértéktétele) a differenciálszámítás egyik fontos tétele, amely általánosítja a Lagrange-féle középértéktételt. A tétel a következőképpen szól:

Legyen ${\textstyle f}$ és ${\textstyle g}$ két olyan függvény, amelyek differenciálhatók az ${\textstyle }$ intervallumon, és folytonosak a zárt ${\textstyle }$ intervallumon. Ha továbbá ${\textstyle g'(x)\neq 0}$ minden ${\textstyle x\in (a,b)}$ esetén, akkor létezik olyan ${\textstyle \xi \in (a,b)}$, amelyre teljesül:

$${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}.}$$

Ez a tétel a Lagrange-féle középértéktétel egy általánosabb változata, amely két függvény arányáról szól, és az egyik függvény deriváltjaival kapcsolja össze őket.

A **Cauchy-féle középértéktétel** a komplex analízis egyik alapvető eredménye, amely a holomorf függvények értékét köti össze egy zárt görbe mentén vett görbeintegráljával. Ez a tétel fontos következménye a Cauchy-féle integráltételnek, és előkészíti a Cauchy-integrálformulát.

Legyen ${\displaystyle f(z)}$ holomorf egy ${\displaystyle U}$ nyílt tartományban, és legyen ${\displaystyle C}$ egy egyszeresen összefüggő, pozitív orientációjú zárt görbe, amely teljes egészében ${\displaystyle U}$-n belül van. Ha ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle C}$-vel határolt tartomány belsejében található, akkor:

$${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz}$$

Ez azt mondja ki, hogy ha ${\displaystyle f(z)}$ holomorf, akkor a ${\displaystyle z=a}$ pontban vett értéke kifejezhető egy zárt görbe menti integrál segítségével.

---

• A függvény ${\displaystyle f(z)}$ holomorf, azaz folytonosan differenciálható az ${\displaystyle U}$ tartományban.
• ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle C}$-vel határolt tartomány belsejében található.
• A cél annak igazolása, hogy a tételben szereplő integrál valóban ${\displaystyle f(a)}$-val egyenlő.

---

Tekintsük az integrálban szereplő függvényt:

$${\displaystyle g(z)={\frac {f(z)}{z-a}}.}$$

Ez a függvény holomorf minden ${\displaystyle z\neq a}$ pontban, mert ${\displaystyle f(z)}$ holomorf, és ${\displaystyle z-a\neq 0}$ a görbén kívül. Az integrál viszont tartalmazza ${\displaystyle z=a}$-t, ahol a nevező nullává válik, ezért külön kell vizsgálni a ${\displaystyle z=a}$ pont környezetét.

---

A ${\displaystyle f(z)}$ függvény Taylor-sor alakban kifejezhető a ${\displaystyle z=a}$ környezetében:

$${\displaystyle f(z)=f(a)+f'(a)(z-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(z-a)^{2}+\dots }$$

A ${\displaystyle g(z)}$ függvényt behelyettesítve:

$${\displaystyle g(z)={\frac {f(z)}{z-a}}={\frac {f(a)}{z-a}}+f'(a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(z-a)+\dots }$$

---

Az ${\displaystyle \oint _{C}g(z)\,dz}$ integrált vizsgálva, az ${\displaystyle g(z)}$-t a fenti alak szerint bontjuk:

$${\displaystyle \oint _{C}{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz=\oint _{C}{\frac {f(a)}{z-a}}\,dz+\oint _{C}f'(a)\,dz+\oint _{C}{\frac {f''(a)}{2!}}(z-a)\,dz+\dots }$$

Az ${\displaystyle \oint _{C}f'(a)\,dz}$ és az összes magasabb rendű tag integrálja nulla, mivel ezek a függvények holomorfak ${\displaystyle U}$-ban, és a Cauchy-féle integráltétel szerint bármely holomorf függvény zárt görbe mentén vett integrálja nulla.

Így csak az első tag marad:

$${\displaystyle \oint _{C}{\frac {f(a)}{z-a}}\,dz.}$$

Ez az integrál az ${\displaystyle 1/(z-a)}$ görbeintegráljára vezethető vissza. A komplex analízisből ismert, hogy:

$${\displaystyle \oint _{C}{\frac {1}{z-a}}\,dz=2\pi i.}$$

Ezért az eredeti integrál:

$${\displaystyle \oint _{C}{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz=f(a)\cdot 2\pi i.}$$

---

A fentiek alapján:

$${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz.}$$

Ez bizonyítja a Cauchy-féle középértéktételt.

---

A tétel megmutatja, hogy egy analitikus függvény ${\displaystyle a}$ pontban vett értéke teljes egészében meghatározható egy zárt görbe menti integrál segítségével. Ez a tétel a komplex analízis egyik központi eredménye, amely a Cauchy-integrálformulára is alapot nyújt.

• Cauchy-féle középértéktétel - Értelmező szótár (MEK)
• Cauchy-féle középértéktétel - Etimológiai szótár (UMIL)
• Cauchy-féle középértéktétel - Szótár.net (hu-hu)
• Cauchy-féle középértéktétel - DeepL (hu-de)
• Cauchy-féle középértéktétel - Яндекс (hu-ru)
• Cauchy-féle középértéktétel - Google (hu-en)
• Cauchy-féle középértéktétel - Helyesírási szótár (MTA)
• Cauchy-féle középértéktétel - Wikidata
• Cauchy-féle középértéktétel - Wikipédia (magyar)