Cayley-Hamilton-tétel

• IPA:

Cayley-Hamilton-tétel

1. (matematika) Cayley–Hamilton-tétel a lineáris algebra, azon belül is a mátrixalgebra jelentős tétele. Azt mondja ki, hogy a komplex test feletti tetszőleges A négyzetes mátrix kielégíti saját karakterisztikus egyenletét. A tételt először Hamilton bizonyította 1862-ben, de csak egy speciális esetben, a kvaterniók által alkotott vektortérre.

A Cayley–Hamilton-tétel a lineáris algebra egyik alapvető tétele, amely kimondja:

Legyen ${\displaystyle A}$ egy ${\displaystyle n\times n}$ méretű négyzetes mátrix, és legyen a karakterisztikus polinomja: ${\displaystyle p(\lambda )=\det(\lambda I-A),}$ ahol ${\displaystyle I}$ az egységmátrix. A ${\displaystyle p(\lambda )}$ egy ${\displaystyle n}$-ed fokú polinom: ${\displaystyle p(\lambda )=c_{n}\lambda ^{n}+c_{n-1}\lambda ^{n-1}+\dots +c_{1}\lambda +c_{0},}$ ahol a ${\displaystyle c_{i}}$ a polinom együtthatói. A tétel szerint: ${\displaystyle p(A)=0,}$ azaz: ${\displaystyle c_{n}A^{n}+c_{n-1}A^{n-1}+\dots +c_{1}A+c_{0}I=0,}$ ahol ${\displaystyle 0}$ a nullmátrix.

- Egy ${\displaystyle A}$ mátrix karakterisztikus polinomja a következőképpen definiált: ${\displaystyle p(\lambda )=\det(\lambda I-A),}$ ahol ${\displaystyle \det }$ az ${\displaystyle \lambda I-A}$ mátrix determinánsa.

- A karakterisztikus polinom gyökei a mátrix sajátértékei, azaz azok az ${\displaystyle \lambda }$ értékek, amelyekre létezik nem nullvektor ${\displaystyle v}$, hogy: ${\displaystyle Av=\lambda v.}$

- Egy mátrix minden eleme nulla (${\displaystyle 0}$).

- Legyen ${\displaystyle p(\lambda )}$ a ${\displaystyle A}$ mátrix karakterisztikus polinomja: ${\displaystyle p(\lambda )=\det(\lambda I-A).}$ - A ${\displaystyle p(A)}$ mátrixpolinomot a ${\displaystyle \lambda }$ változó helyére ${\displaystyle A}$-t helyettesítve kapjuk: ${\displaystyle p(A)=c_{n}A^{n}+c_{n-1}A^{n-1}+\dots +c_{1}A+c_{0}I.}$

- A determináns definíciója szerint ${\displaystyle p(\lambda )}$ megadja az ${\displaystyle A-\lambda I}$ mátrix sajátértékeinek helyét, azaz a determináns ${\displaystyle 0}$-val való egyenlőségét. - A mátrixszorzás és polinomhelyettesítés megőrzi az algebrai struktúrát, így a ${\displaystyle p(A)}$-ra való helyettesítés is érvényes.

- Helyettesítsük be ${\displaystyle A}$-t a polinom egyenletébe: ${\displaystyle p(A)=c_{n}A^{n}+c_{n-1}A^{n-1}+\dots +c_{1}A+c_{0}I.}$ - A tétel szerint: ${\displaystyle p(A)=0,}$ ami azt jelenti, hogy ${\displaystyle p(A)}$ a nullmátrixot adja eredményül.

- Egy mátrix mindig diagonizálható, vagy Jordan-formára hozható. - A Cayley–Hamilton-tétel igaz a diagonális mátrixokra, mivel a karakterisztikus polinom gyökei (sajátértékek) a diagonális elemek. - A Jordan-forma esetén a polinom helyettesítése szintén nullmátrixot eredményez.

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&3\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle p(\lambda )=\det(\lambda I-A)=\det {\begin{bmatrix}\lambda -2&-1\\-1&\lambda -3\end{bmatrix}}.}$ ${\displaystyle p(\lambda )=(\lambda -2)(\lambda -3)-(-1)(-1)=\lambda ^{2}-5\lambda +5.}$

Helyettesítsük be ${\displaystyle A}$-t a ${\displaystyle p(\lambda )}$-ba: ${\displaystyle p(A)=A^{2}-5A+5I.}$

Számítsuk ki ${\displaystyle A^{2}}$: ${\displaystyle A^{2}={\begin{bmatrix}2&1\\1&3\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}2&1\\1&3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&5\\5&10\end{bmatrix}}.}$ Számítsuk ki ${\displaystyle -5A}$ és ${\displaystyle 5I}$: ${\displaystyle -5A={\begin{bmatrix}-10&-5\\-5&-15\end{bmatrix}},\quad 5I={\begin{bmatrix}5&0\\0&5\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle p(A)=A^{2}-5A+5I={\begin{bmatrix}5&5\\5&10\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-10&-5\\-5&-15\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}5&0\\0&5\end{bmatrix}}.}$ ${\displaystyle p(A)={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}.}$

1. Mátrixok tulajdonságai:

  - A Cayley–Hamilton-tétel segítségével mátrixok hatványaira vonatkozó számítások egyszerűsíthetők.

1. Sajátértékek és sajátvektorok:

  - A tétel segítségével sajátértékekkel kapcsolatos problémák kezelhetők.

1. Lineáris differenciálegyenletek:

  - A mátrixexponenciális számításában fontos szerepet játszik.

1. Numerikus módszerek:

  - A mátrixalgebra gyakorlati alkalmazásaiban hasznos.

A Cayley–Hamilton-tétel megmutatja, hogy minden mátrix kielégíti saját karakterisztikus polinomját, ami az algebrai és numerikus módszerek széles körében kulcsfontosságú eszközzé teszi. A tétel segítségével a mátrixalgebra elmélyíthető és hatékonyan alkalmazható számos problémában.

• angol: Cayley–Hamilton theorem (en)

• Cayley-Hamilton-tétel - Értelmező szótár (MEK)
• Cayley-Hamilton-tétel - Etimológiai szótár (UMIL)
• Cayley-Hamilton-tétel - Szótár.net (hu-hu)
• Cayley-Hamilton-tétel - DeepL (hu-de)
• Cayley-Hamilton-tétel - Яндекс (hu-ru)
• Cayley-Hamilton-tétel - Google (hu-en)
• Cayley-Hamilton-tétel - Helyesírási szótár (MTA)
• Cayley-Hamilton-tétel - Wikidata
• Cayley-Hamilton-tétel - Wikipédia (magyar)