Jacobi-mátrix

Magyar

(matematika) A Jacobi-mátrix egy vektorértékű függvény elsőrendű parciális deriváltjait tartalmazó mátrix. Legyen $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ az n dimenziós euklideszi térből az m dimenziós euklideszi térbe képező függvény. Ekkor a vektorértékű függvény egyes komponensei:

$f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\left(f_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),f_{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),\dots ,f_{m}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\right).$

Ezen m darab n-változós függvény parciális deriváltjaiból egy m×n-es mátrixot képezhetünk:

J={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}.

Ezt hívjuk a Jacobi-mátrixnak. A Jacobi-determináns a Jacobi-mátrix determinánsa.

A Jacobi-mátrix az egyváltozós skalárfüggvények deriváltjának fogalmát terjeszti ki vektormezőkre, ahogy a gradiens a skalármezőkre teszi ugyanezt. Ha lineáris transzformációként fogjuk fel, akkor J adja meg az f függvény legjobb lineáris közelítését egy adott $\mathbf {x_{0}}$ pont körül, abban az értelemben hogy a Taylor-sorhoz hasonlóan elsőrendben:

f(\mathbf {x} )\approx f(\mathbf {x_{0}} )+J(\mathbf {x_{0}} )(\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )

Úgy is fogalmazhatunk, hogy a Jacobi-mátrix megadja, hogy lokálisan hogyan viselkedik az f függvény.