binomiális eloszlás

Magyar

Kiejtés

IPA:

Főnév

binomiális eloszlás

(matematika, valószínűségszámítás) A binomiális eloszlás egy diszkrét valószínűségi eloszlás, amelyet olyan kísérletek modellezésére használnak, amelyekben ${\textstyle n}$ független Bernoulli-kísérletet hajtunk végre, és az egyes kísérleteknek két kimenete van: siker (1) és kudarc (0). A binomiális eloszlás főként arra szolgál, hogy megmutassa, milyen valószínűséggel fordul elő ${\textstyle k}$ siker egy adott kísérletsorozatban.

Főbb jellemzők

1. Paraméterek:

${\textstyle n}$ : A kísérletek száma.
${\textstyle p}$ : A siker valószínűsége egyetlen kísérletben.
${\textstyle q=1-p}$ : A kudarc valószínűsége.

2. Valószínűségi tömegfüggvény (PMF): A binomiális eloszlás valószínűségi tömegfüggvénye a következőképpen írható fel: $P(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}$ ahol ${\textstyle {\binom {n}{k}}}$ a binomiális együttható, amely a következőképpen számolható: ${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$ Ahol ${\textstyle n!}$ a faktoriális, amely a számok szorzataként definiálható.

3. Elvárt érték és szórás: - Az elvárt érték (várható érték) a binomiális eloszlás esetén: $E(X)=np$ - A szórás (standard deviation) a következőképpen számolható: $\sigma ={\sqrt {npq}}$

Példa: Tegyük fel, hogy egy pénzfeldobás sikeresnek számít, ha fej (p = 0.5) jön ki, és 10-szer dobunk fel egy érmét. Ha meg akarjuk határozni, milyen valószínűséggel dobunk 6 fejet, a következőképpen járunk el:

- ${\textstyle n=10}$ (kísérletek száma) - ${\textstyle k=6}$ (sikeres kísérletek száma) - ${\textstyle p=0.5}$ (siker valószínűsége)