dimenziótétel

Magyar

dimenziótétel

(matematika, lineáris algebra) A dimenziótétel vagy nullitás–rang tétel a lineáris algebrában alapvetően a véges dimenziós terek között ható leképezések magterének és képterének komplementer jellegére mutat rá. Ha φ lineáris leképezés egy n dimenziós térből valamely másikba hat, Ker φ = { v | φv = 0 } a φ magtere és Im φ a leképezés értékkészlete, mint altér, akkor

dim Ker φ + dim Im φ = n

Ugyanazon terek között ható két leképezés közül, amelyik magtérdimenziója nagyobb, annak a képtérdimenziója kisebb.

A tétel a dimenziók szerepeltetése nélkül tovább általánosítható nem feltétlenül véges dimenziós V₁ térre is, a következő formában:

Ker φ ⊕ Im φ ≅ V₁

A tétel kapcsolatban van az első izomorfizmustétellel és az Abel-csoportok közötti morfizmusok dekompozíciós tételével.^[1]

Ha V₁ véges dimenziós, V₂ pedig tetszőleges lineáris tér, továbbá φ:V₁ $\to$ V₂ lineáris leképezés, akkor

\mathrm {dim\,Ker} \,\varphi +\mathrm {dim\,Im} \,\varphi =\mathrm {dim} \,V_{1}

↑ Itt az angolban Splitting Lemma néven ismert tételről van szó, lásd: Mac Lane, Birkhoff, Algebra, p. 328.