egyenletes konvergencia

• IPA:

egyenletes konvergencia

1. (matematika) A matematikai analízisben az egyenletes konvergencia egy, a pontonkénti konvergenciánál erősebb konvergenciafajta. Függvények egy {f_n} sorozata egyenletesen tart az f határfüggvényhez, ha f_n(x) konvergenciasebessége nem függ x-től.

A fogalom azért fontos, mert megőrzi az f_n függvények egyes tulajdonságait, például a folytonosságot és a Riemann-integrálhatóságot, míg a pontonkénti konvergencia ezt nem teszi meg.

Legyen ${\displaystyle S}$ halmaz, és ${\displaystyle f_{n}:S\to \mathbb {R} }$ függvény minden n-re. Azt mondjuk, hogy az ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ sorozat egyenletesen tart az ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$ függvényhez, ha minden ${\displaystyle \epsilon >0}$-hoz van egy ${\displaystyle N}$ természetes szám, hogy minden ${\displaystyle x\in S}$ helyre és minden ${\displaystyle n\geq N}$ sorszámra ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }$.

Tekintsük az ${\displaystyle a_{n}=\sup _{x}|f_{n}(x)-f(x)|}$ sorozatot, ahol a szuprémum az összes ${\displaystyle x\in S}$-re megy. Ekkor ${\displaystyle f_{n}}$ egyenletesen tart ${\displaystyle f}$-hez, ha ${\displaystyle a_{n}}$ tart nullához.

Az ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ sorozat lokálisan egyenletesen konvergens, és tart ${\displaystyle f}$-hez, ha egy ${\displaystyle S}$ metrikus tér minden ${\displaystyle x}$ eleméhez létezik ${\displaystyle r>0}$, hogy ${\displaystyle (f_{n})}$ egyenletesen konvergens ${\displaystyle B(x,r)\cap S}$-ben.

• egyenletes konvergencia - Értelmező szótár (MEK)
• egyenletes konvergencia - Etimológiai szótár (UMIL)
• egyenletes konvergencia - Szótár.net (hu-hu)
• egyenletes konvergencia - DeepL (hu-de)
• egyenletes konvergencia - Яндекс (hu-ru)
• egyenletes konvergencia - Google (hu-en)
• egyenletes konvergencia - Helyesírási szótár (MTA)
• egyenletes konvergencia - Wikidata
• egyenletes konvergencia - Wikipédia (magyar)