hipergeometrikus eloszlás

• IPA:

hipergeometrikus eloszlás

1. (matematika, valószínűségszámítás) A hipergeometrikus eloszlás egy diszkrét valószínűségi eloszlás, amely annak a valószínűségét írja le, hogy egy véletlen mintavétel során bizonyos számú "sikeres" elemet választunk ki egy véges populációból, visszapótlás nélkül.

Hipergeometrikus Eloszlás Jellemzői

A hipergeometrikus eloszlást akkor használjuk, amikor:

1. Populáció (N): Egy véges populációból mintavételezünk.

2. Sikeres elemek (K): A populációban pontosan ${\textstyle K}$ darab "sikeres" elem található (például piros golyók).

3. Mintanagyság (n): Véletlenszerűen ${\textstyle n}$ elemet választunk ki a populációból.

4. Kiválasztott sikeres elemek száma (k): A kérdés, hogy pontosan hány "sikeres" elemet választunk ki a mintából (például piros golyók száma a kiválasztottak között).

Valószínűségi Tömegfüggvény (PMF)

A hipergeometrikus eloszlás valószínűségi tömegfüggvénye annak valószínűségét adja meg, hogy egy ${\textstyle n}$ elemű mintában pontosan ${\textstyle k}$ sikeres elemet találunk:

$${\displaystyle P(X=k)={\frac {{\binom {K}{k}}{\binom {N-K}{n-k}}}{\binom {N}{n}}}}$$

ahol:

• ${\textstyle {\binom {K}{k}}}$ a kombinatorikai kifejezés (K alatt a k) az ${\textstyle K}$ sikeres elem közül kiválasztott ${\textstyle k}$ sikeres elem számát jelenti,
• ${\textstyle {\binom {N-K}{n-k}}}$ az ${\textstyle N-K}$ kudarc közül kiválasztott ${\textstyle n-k}$ kudarc számát adja meg,
• ${\textstyle {\binom {N}{n}}}$ az ${\textstyle N}$ elemű populációból kiválasztott ${\textstyle n}$ elem összes lehetséges kombinációját jelenti.

Példa

Tegyük fel, hogy van egy dobozban 10 golyó, ahol 4 piros és 6 kék golyó található. Ha 3 golyót véletlenszerűen választunk ki visszapótlás nélkül, mi annak a valószínűsége, hogy pontosan 2 piros golyót választunk ki?

1. ${\textstyle N=10}$ (a golyók összes száma),

2. ${\textstyle K=4}$ (a piros golyók száma),

3. ${\textstyle n=3}$ (a választott golyók száma),

4. ${\textstyle k=2}$ (két piros golyót akarunk választani).

A valószínűséget a hipergeometrikus képlet segítségével számíthatjuk ki:

$${\displaystyle P(X=2)={\frac {{\binom {4}{2}}{\binom {6}{1}}}{\binom {10}{3}}}={\frac {{\frac {4!}{2!(4-2)!}}\times {\frac {6!}{1!(6-1)!}}}{\frac {10!}{3!(10-3)!}}}={\frac {6\times 6}{120}}={\frac {36}{120}}=0.3}$$

Tehát annak a valószínűsége, hogy pontosan 2 piros golyót választunk, 0.3 (30

Várható Érték és Szórás

- Várható érték (${\textstyle E(X)}$): $${\displaystyle E(X)=n\cdot {\frac {K}{N}}}$$ Ez azt jelenti, hogy a várható sikeres elemek száma egyenlő a mintanagyság (${\textstyle n}$) és a sikeres elemek arányának (${\textstyle {\frac {K}{N}}}$) szorzatával.

- Szórás (${\textstyle \sigma ^{2}}$): $${\displaystyle \sigma ^{2}=n\cdot {\frac {K}{N}}\cdot {\frac {N-K}{N}}\cdot {\frac {N-n}{N-1}}}$$

Alkalmazások

A hipergeometrikus eloszlást akkor alkalmazzák, ha véges populációból választunk ki elemeket visszapótlás nélkül, például: - Minőségellenőrzés: Egy adott hibás termékeket tartalmazó készletből mintavételezve megállapítani, hány hibás terméket választunk ki. - Kártyajátékok: Kártyapakliból való kártyaválasztásoknál egy adott szín vagy figura kiválasztásának esélyeit lehet modellezni.

• hipergeometrikus eloszlás - Értelmező szótár (MEK)
• hipergeometrikus eloszlás - Etimológiai szótár (UMIL)
• hipergeometrikus eloszlás - Szótár.net (hu-hu)
• hipergeometrikus eloszlás - DeepL (hu-de)
• hipergeometrikus eloszlás - Яндекс (hu-ru)
• hipergeometrikus eloszlás - Google (hu-en)
• hipergeometrikus eloszlás - Helyesírási szótár (MTA)
• hipergeometrikus eloszlás - Wikidata
• hipergeometrikus eloszlás - Wikipédia (magyar)