központi határeloszlás-tétel

• IPA:

központi határeloszlás-tétel

1. (matematika, valószínűségszámítás) A központi határeloszlás-tétel (KHT) vagy centrális határeloszlás-tétel (CHT) a valószínűségszámítás egyik legfontosabb és legismertebb tétele, amely a független, azonos eloszlású valószínűségi változók összegének viselkedését írja le. A tétel kimondja, hogy ha elegendően sok független és azonos eloszlású valószínűségi változót átlagolunk, akkor az átlag eloszlása egy normális eloszlás (Gauss-eloszlás) felé közelít, függetlenül attól, hogy az egyedi változók eloszlása milyen volt.

Formális megfogalmazás Tegyük fel, hogy ${\textstyle X_{1},X_{2},...,X_{n}}$ független és azonos eloszlású valószínűségi változók, melyeknek várható értéke ${\textstyle \mu }$, szórása pedig ${\textstyle \sigma }$. A centrális határeloszlás-tétel szerint, ha ${\textstyle S_{n}}$ a ${\textstyle n}$ darab változó összegét jelenti, akkor az átlagos összeg (azaz a ${\textstyle S_{n}}$ középértéke) megfelelően standardizálva normális eloszlású lesz, amikor ${\textstyle n}$ elég nagy.

Azaz, ha ${\textstyle Z_{n}}$-t definiáljuk a következőképpen:

$${\displaystyle Z_{n}={\frac {S_{n}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}},}$$

akkor ${\textstyle Z_{n}}$ eloszlása ${\textstyle n\to \infty }$ esetén egyre inkább standard normális eloszlású lesz, vagyis:

$${\displaystyle Z_{n}\xrightarrow {n\to \infty } {\mathcal {N}}(0,1).}$$

Ez azt jelenti, hogy nagy ${\textstyle n}$-re az átlag eloszlása közelít a normális eloszláshoz, függetlenül attól, hogy az egyedi valószínűségi változók milyen eloszlásúak, amennyiben azok véges várható értékkel és szórással rendelkeznek.

A CHT jelentősége A centrális határeloszlás-tétel azért fontos, mert sok valószínűségi modellben hasznos, mivel lehetőséget ad arra, hogy a nagy minták alapján az összegzett vagy átlagolt adatok eloszlását normális eloszlással közelítsük. Ez megkönnyíti a számításokat és az elemzést, különösen statisztikai vizsgálatokban.

Példák és alkalmazások 1. Mintavétel és statisztikai következtetés: A statisztikában gyakran egy populációból vett minta alapján következtetünk a populáció paramétereire. A centrális határeloszlás-tétel segítségével feltételezhetjük, hogy a mintaátlagok eloszlása közel normális eloszlású lesz, ha a minta mérete nagy.

2. Pénzügyi modellezés: A pénzügyekben a hozamok gyakran független és azonos eloszlású változókkal modellezhetők. A centrális határeloszlás-tétel segítségével nagy időszakokra vonatkozó hozamokat közelíthetünk normális eloszlással.

3. Fizika és mérnöki alkalmazások: Számos fizikai rendszerben sok apró, független hatás összegződik, és ezek eredményeként a teljes rendszer viselkedése a normális eloszláshoz hasonlóvá válik. Például hőmérsékleti ingadozások, hibák az elektronikus rendszerekben, stb.

Feltételek - A tétel általában akkor érvényes, ha a valószínűségi változók várható értéke és szórása véges. - A tétel univerzalitása miatt számos különböző disztribúciójú valószínűségi változó esetében alkalmazható (pl. binomiális, Poisson, geometriai, stb.).

Példák 1. Dobókockák összegzése: Ha sokszor feldobsz egy dobókockát, és a dobások összegét vizsgálod, akkor a dobások összege, ha elég nagy a dobások száma, közel normális eloszlású lesz, még akkor is, ha egy dobás eredménye egyenletes eloszlású (mert minden dobásnak egyenlő az esélye).

Összességében a centrális határeloszlás-tétel alapvető fontosságú a statisztikai következtetések levonásában, mivel sok valós probléma esetében lehetővé teszi a normális eloszlás feltételezését még akkor is, ha az egyedi adatok nem normálisak.

• központi határeloszlás-tétel - Értelmező szótár (MEK)
• központi határeloszlás-tétel - Etimológiai szótár (UMIL)
• központi határeloszlás-tétel - Szótár.net (hu-hu)
• központi határeloszlás-tétel - DeepL (hu-de)
• központi határeloszlás-tétel - Яндекс (hu-ru)
• központi határeloszlás-tétel - Google (hu-en)
• központi határeloszlás-tétel - Helyesírási szótár (MTA)
• központi határeloszlás-tétel - Wikidata
• központi határeloszlás-tétel - Wikipédia (magyar)