lineáris egyenletrendszer megoldhatósága

• IPA:

lineáris egyenletrendszer megoldhatósága

1. (matematika, lineáris algebra) Lineáris egyenletrendszerek megoldhatóságának szükséges és elégséges feltétele:

1. Az ${\displaystyle A\cdot {\underline {x}}={\underline {b}}}$ lineáris egyenletrendszer megoldható ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ a ${\displaystyle {\underline {b}}}$ vektor előáll az ${\displaystyle A}$ együtthatómátrix oszlopvektorainak lineáris kombinációjával.
2. Az ${\displaystyle A\cdot {\underline {x}}={\underline {b}}}$ lineáris egyenletrendszer megoldható ${\displaystyle \Leftrightarrow r(A)=r()}$, vagyis ha az együtthatómátrix rangja egyenló a kibővített mátrix rangjával

ahol ${\displaystyle }$ az egyenletrendszer kibővített mátrixa:

${\displaystyle =\left({\begin{array}{cccc}{a_{11}}&{\dots }&{a_{1n}}&{b_{1}}\\{\vdots }&{}&{\vdots }&{\vdots }\\{a_{m1}}&{\dots }&{a_{mn}}&{b_{m}}\end{array}}\right)_{m\times (n+1)}}$

$${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline {\text{Megoldásvektorok száma}}&{\begin{array}{c}{\text{Homogén lin. egyenletrendszer}}\\{A_{m\times n}\cdot {\underline {x}}={\underline {o}}}\end{array}}&{\begin{array}{c}{\text{Inhomogén lin. egyenletrendszer}}\\{A_{m\times n}\cdot {\underline {x}}={\underline {b}}}\end{array}}\\\hline {\text{nincs megoldás}}&-&{\begin{array}{c}{r(A)<r()}\\M=\varnothing \end{array}}\\\hline {\begin{array}{c}{\text{1 db. megoldásvektor}}\\{\text{egyértelműen megoldható}}\end{array}}&{\begin{array}{c}{r(A)=n}\\{M_{0}=\{{\underline {o}}\}}\end{array}}&{\begin{array}{c}{r(A)}=r()=n\\M=\{{\underline {x}}_{0}\}\end{array}}\\\hline {\text{végtelen sok megoldásvektor}}&{\begin{array}{c}{r(A)<n}\\M_{0}\end{array}}&{\begin{array}{c}{r(A)}=r()<n\\{M=M_{0}+\left\{{\underline {x}}_{0}\right\}}\\\end{array}}\\\hline \end{array}}}$$

• angol: solvability of a linear system (en)