lineáris altér

• IPA:

lineáris altér

1. (matematika)

A lineáris altér a matematika, közelebbről a lineáris algebra egyik fontos fogalma. Egy vektortér, mint struktúra bizonyos tulajdonságokkal ellátott részhalmazára akkor mondjuk, hogy lineáris altér a vektortérben, ha teljesíti az ugyanazon vektor- illetve skalárral való szorzás műveleti zártságának követelményét.

Egy F test feletti V vektortér egy nemüres W ${\displaystyle \in }$ V részhalmazát altérnek nevezzük V-ben, ha W maga is vektortér ugyanazon F test felett ugyanazokra a V-beli vektorműveletekre, precízebben ezeknek a műveleteknek W-re történő megszorításaira nézve. Jelölése W ≤ V.

Egy F test feletti V vektortérben egy W nemüres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha

1. ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in W\Rightarrow \mathbf {u} +\mathbf {v} \in W}$ és
2. ${\displaystyle \mathbf {v} \in W,\lambda \in F\Rightarrow \lambda \mathbf {v} \in W}$

• bármely vektortérben triviális alterek: az egész tér, és csak a 0 vektorból álló altér,
• bármely vektortérben egy tetszőleges, de rögzített vektor összes skalárszorosai mindig alteret alkotnak,
• tetszőleges lineáris transzformáció magtere és képtere altér az adott vektortérben,
• a háromdimenziós ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$-ban kétdimenziós altér egy tetszőleges origón keresztülhaladó sík.

• angol: linear subspace (en)
• orosz: линейное подпространство (ru) (linejnoje podprostranstvo)