mathematical analysis

mathematical analysis (tsz. mathematical analysises)

1. (informatika) matematikai analízis

A matematikai analízis a matematika egyik legmélyebb és legátfogóbb ága, amely a változás, folytonosság, határértékek és függvények vizsgálatával foglalkozik. Alapját a differenciál- és integrálszámítás képezi, de ide tartozik a sorok, függvénysorozatok, mértékelmélet, komplex analízis, funkcionálanalízis, differenciálegyenletek stb. tanulmányozása is.

A matematikai analízis célja annak leírása és megértése, hogy hogyan viselkednek a függvények és más matematikai objektumok a végtelenhez vagy egy ponthoz közel, hogyan lehet ezeket kisebb darabokra bontani (deriválás), majd újra összerakni (integrálás).

A függvények viselkedésének vizsgálata, ahogy a bemenet „közelít” egy adott értékhez.

Jelölés:

$${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$$

Ez azt jelenti, hogy ${\textstyle f(x)}$ értéke közelít ${\textstyle L}$-hez, ha ${\textstyle x}$ elég közel van ${\textstyle a}$-hoz.

Egy függvény akkor folytonos egy pontban, ha nem „szakad meg” ott:

$${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=f(a)}$$

A legtöbb „természetes” függvény (pl. ${\textstyle \sin(x)}$, ${\textstyle e^{x}}$) folytonos a teljes tartományán.

A derivált egy függvény változásának mértéke. Geometriailag: az érintő meredeksége.

Jelölés:

$${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$$

Fizikai értelemben: ha ${\textstyle f(x)}$ egy test helye, akkor ${\textstyle f'(x)}$ a sebessége.

Az integrál egy terület, térfogat vagy összegzett mennyiség kiszámítására szolgál. Két fő típusa van:

• Határozatlan integrál: az ősfüggvények halmaza.
• Határozott integrál: egy adott intervallum alatti terület:

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$$

Ez értelmezhető mint a függvény értékeinek „összegzése”.

Például Taylor-sor:

$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}$$

Ezek segítségével bonyolult függvényeket közelíthetünk egyszerűbbekkel.

A konvergencia azt jelenti, hogy egy sorozat vagy sor véges határértékhez tart:

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\quad {\text{konvergens}},\quad \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\quad {\text{divergens}}}$$

Ez az analízis elméleti megalapozása, amely általánosabb, mint a Riemann-integrál. Lehetővé teszi „rosszul viselkedő” függvények integrálását is.

A komplex számok fölötti függvénytan. Példa: ${\textstyle f(z)={\frac {1}{z}}}$ vagy ${\textstyle f(z)=e^{z}}$.

Különösen erős és elegáns elmélet, amelyet a valós analízis is alkalmaz.

Az analízis általánosítása végtelen dimenziós terekre, pl. Hilbert- és Banach-terek. Fontos az analízis, fizika, kvantummechanika és numerikus módszerek szempontjából.

Az analízis alkalmazása dinamikus rendszerek modellezésére.

Például:

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=ky\quad \Rightarrow \quad y(x)=Ce^{kx}}$$

• Bolzano-tétel: Ha ${\textstyle f}$ folytonos az intervallumon, és ${\textstyle f(a)\cdot f(b)<0}$, akkor van gyök.
• Weierstrass-tétel: Folytonos függvény zárt intervallumon mindig eléri minimumát és maximumát.
• Cauchy-sorozat: Olyan sorozat, amelynek tagjai egyre közelebb kerülnek egymáshoz.
• L’Hospital-szabály: Határértékek kiszámítása „0/0” és „∞/∞” típusú kifejezésekre.
• Fundamentális analízis tétele: a deriválás és integrálás egymás inverzei bizonyos körülmények között.

A matematikai analízis az a terület, amely a folytonos változók, függvények, sorozatok, határértékek és integrálok vizsgálatával foglalkozik. Egyfelől konkrét alkalmazásokra épül, másfelől rendkívül mély és absztrakt struktúrákra is kiterjed. Az analízis nemcsak a fizika és technológia alapja, hanem a modern matematika központi pillére.

• mathematical analysis - Szótár.net (en-hu)
• mathematical analysis - Sztaki (en-hu)
• mathematical analysis - Merriam–Webster
• mathematical analysis - Cambridge
• mathematical analysis - WordNet
• mathematical analysis - Яндекс (en-ru)
• mathematical analysis - Google (en-hu)
• mathematical analysis - Wikidata
• mathematical analysis - Wikipédia (angol)