functional analysis

functional analysis (tsz. functional analysises)

1. (informatika) funkcionálanalízis

A funkcionálanalízis a matematikai analízis egy ága, amely a vektorterek (gyakran végtelen dimenziós) és az azokon értelmezett lineáris leképezések (funkcionálok, operátorok) tulajdonságait vizsgálja. A klasszikus analízis eszközeit ötvözi az algebra, a topológia, és a geometria módszereivel.

A funkcionálanalízis célja, hogy a függvényeket és az azokra ható operátorokat olyan absztrakt struktúrákon keresztül vizsgálja, mint a Banach-terek, Hilbert-terek, és topologikus vektorterek.

• Elemei lehetnek pl. valós számsorozatok, függvények, mátrixok stb.
• Vektorösszeadás és skalárszorzás művelete értelmezett.

• Egy vektortér, amelyen normát (${\textstyle \|\cdot \|}$) definiáltunk.

• Teljes normált vektortér: minden Cauchy-sorozat konvergens a térben.

• Belső szorzattal ellátott teljes tér: például ${\textstyle L^{2}}$ tér.

• Egy leképezés, amely lineáris: ${\textstyle T(ax+by)=aT(x)+bT(y)}$

• Egy lineáris operátor, amely a vektortér elemeit számokká képezi le (pl. ${\textstyle x\mapsto \int x(t)dt}$).

Tér neve	Leírás	Példa formula
${\textstyle \ell ^{p}}$	Végtelen sorozatok tere, ahol a sorozat ${\textstyle p}$-edik hatványösszege konvergens	${\textstyle \sum |x_{i}|^{p}<\infty }$
${\textstyle L^{p}}$	Integrálható függvények tere az ${\textstyle }$ intervallumon	${\textstyle \int _{a}^{b}|f(x)|^{p}\,dx<\infty }$
${\textstyle C()}$	Folytonos valós függvények tere az ${\textstyle }$ zárt intervallumon
${\textstyle L^{2}}$	Hilbert-tér: négyzetesen integrálható függvények tere	${\textstyle \int |f(x)|^{2}\,dx<\infty }$

• A lineáris operátorok „sajátérték”-elemzése (végtelen dimenzióban).
• Fontos kvantummechanikában is (Hermitikus operátorok).

• Egy tér dualisa: a tér összes folytonos lineáris funkcionáljainak halmaza.
• Jelölés: ${\textstyle V^{*}}$

• Minden kontrakció rendelkezik egyértelmű fixponttal.
• Kulcsfontosságú létezésbizonyításokhoz.

• Nem erőteljes (${\textstyle \|x_{n}-x\|\to 0}$), hanem csak minden funkcionálra: ${\textstyle f(x_{n})\to f(x)}$

• Stefan Banach – a Banach-terek névadója, a funkcionálanalízis egyik alapítója
• David Hilbert – Hilbert-terek, kvadratikus formák elmélete
• Fréchet, Riesz, Hahn, von Neumann – alapvető tételek és elméletek
• Alapmű: Banach – Théorie des opérations linéaires (1932)

Legyen ${\textstyle T:X\to X}$ egy kontrakció Banach-téren, azaz:

$${\displaystyle \exists 0<c<1:\ \|T(x)-T(y)\|\leq c\|x-y\|}$$

Ekkor:

• ${\textstyle T}$-nek létezik és egyértelmű a fixpontja.
• Az iterációs sorozat ${\textstyle x_{n+1}=T(x_{n})}$ konvergál hozzá.

• functional analysis - Szótár.net (en-hu)
• functional analysis - Sztaki (en-hu)
• functional analysis - Merriam–Webster
• functional analysis - Cambridge
• functional analysis - WordNet
• functional analysis - Яндекс (en-ru)
• functional analysis - Google (en-hu)
• functional analysis - Wikidata
• functional analysis - Wikipédia (angol)