skaláris szorzat

• IPA:

skaláris szorzat

1. (matematika, lineáris algebra) A skaláris szorzat vagy skalárszorzat, más néven belső szorzat a lineáris algebrában egy vektortér két vektorához hozzárendelt skalár. Jelölése: ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ,\mathbf {a} \mathbf {b} ,(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\,}$ vagy ${\displaystyle \langle {\mathbf {a} },{\mathbf {b} }\rangle }$. Műveletnek csak annyiban nem nevezhetjük, hogy elemekhez más típusú elemeket rendel.

Általában két értelmezés használatos, az egyik az euklideszi térben levő vektorokra, a másik általánosabb, bármely vektortérre vonatkozik. Két geometriai vektor skaláris szorzatát megkapjuk, ha összeszorozzuk abszolút értéküket (hosszukat) és az általuk közbezárt szög koszinuszát.

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\cos \theta \;}$

Háromdimenziós vektorok esetén, ha a vektorok derékszögű koordinátáival számolunk, a következőképp kapjuk meg:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\;}$

Ez akárhány dimenzióra általánosítható.

Skaláris szorzat az ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ vektortérben

Két ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$-beli vektor skaláris szorzata:

Legyen ${\displaystyle {\underline {a}}=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$ és ${\displaystyle {\underline {b}}=(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})}$ két ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$-beli vektor. Ekkor az ${\displaystyle {\underline {a}}}$ és ${\displaystyle {\underline {b}}}$ vektorok skaláris szorzatán (skalárszorzatán) az alábbi számot értjük:

${\displaystyle a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}+\ldots +a_{n}\cdot b_{n}}$

Jelölés: ${\displaystyle {\underline {a}}\cdot {\underline {b}},\langle {\underline {a}},{\underline {b}}\rangle }$

• angol: scalar product (en), dot product (en)
• orosz: скалярное произведение (ru) sn (skaljarnoje proizvedenije)

• vektorművelet