homogén lineáris egyenletrendszer

• IPA:

homogén lineáris egyenletrendszer

1. (matematika, lineáris algebra) Az ${\displaystyle A\cdot {\underline {x}}={\underline {b}}}$ lineáris egyenletrendszert homogénnek nevezzük, ha ${\displaystyle {\underline {b}}={\underline {o}}}$.

Homogén lineáris egyenletrendszer olyan egyenletrendszer, melyben a szabad tagok zéróval egyenlők. Úgy is fogalmazhatjuk, hogy kizárólag elsőfokú tagot tartalmaz - 0-adfokút sem. Az ilyen rendszer mindig megoldható, mert rendelkezik a (0, 0, …, 0) triviális megoldással.

megoldásvektorok száma

• Az ${\displaystyle A\cdot {\underline {x}}={\underline {o}}}$ homogén lineáris egyenletrendszer mindig megoldható, az ${\displaystyle {\underline {x}}={\underline {o}}}$ megoldásvektort triviális megoldásnak nevezzük.
• Az ${\displaystyle A\cdot {\underline {x}}={\underline {o}}}$ homogén lineáris egyenletrendszernek csak triviális megoldása van ${\displaystyle \quad \Leftrightarrow \quad r(A)=n}$, ahol n az ismeretlenek száma.
• Az ${\displaystyle A\cdot {\underline {x}}={\underline {o}}}$ homogén lineáris egyenletrendszernek van triviálistól különböző megoldása is ${\displaystyle \quad \Leftrightarrow \quad r(A)<n}$, ahol ${\displaystyle n}$ az ismeretlenek száma.

$${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline {\text{Megoldásvektorok száma}}&{\begin{array}{c}{\text{Homogén lin. egyenletrendszer}}\\{A_{m\times n}\cdot {\underline {x}}={\underline {o}}}\end{array}}&{\begin{array}{c}{\text{Inhomogén lin. egyenletrendszer}}\\{A_{m\times n}\cdot {\underline {x}}={\underline {b}}}\end{array}}\\\hline {\text{nincs megoldás}}&-&{\begin{array}{c}{r(A)<r()}\\M=\varnothing \end{array}}\\\hline {\begin{array}{c}{\text{1 db. megoldásvektor}}\\{\text{egyértelműen megoldható}}\end{array}}&{\begin{array}{c}{r(A)=n}\\{M_{0}=\{{\underline {o}}\}}\end{array}}&{\begin{array}{c}{r(A)}=r()=n\\M=\{{\underline {x}}_{0}\}\end{array}}\\\hline {\text{végtelen sok megoldásvektor}}&{\begin{array}{c}{r(A)<n}\\M_{0}\end{array}}&{\begin{array}{c}{r(A)}=r()<n\\{M=M_{0}+\left\{{\underline {x}}_{0}\right\}}\\\end{array}}\\\hline \end{array}}}$$

• angol: homogeneous linear system (en), homogeneous system of linear equations (en)

• inhomogén lineáris egyenletrendszer