karakterisztikus függvény

• IPA:

karakterisztikus függvény

1. (matematika, valószínűségszámítás) A karakterisztikus függvény a valószínűségszámításban egy speciális, komplex értékű függvény, ami véges mértékekhez vagy szűkebb értelemben valószínűségi mértékekhez, illetve eloszlásokhoz rendelhető hozzá. A hozzárendelés bijektív, a karakterisztikus függvény meghatározza az eloszlást.

Jelentőségét az adja, hogy a valószínűségeloszlások egyes tulajdonságait könnyebb megismerni a karakterisztikus függvényből, mint az eloszlásból vagy más függvényekből. Így a valószínűségi mértékek konvolúciójára a karakterisztikus függvények szorzatából lehet következtetni.

Legyen ${\displaystyle \mu }$ véges mérték ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$-en. Ekkor ${\displaystyle \mu }$ karakterisztikus függvénye egy

${\displaystyle \varphi _{\mu }\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

komplex értékű függvény:

${\displaystyle \varphi _{\mu }(t):=\int _{\mathbb {R} }\exp(\mathrm {i} tx)\mathrm {d} \mu (x)}$

Ha ${\displaystyle \mu =P}$, akkor ugyanez a definíció érvényes. Ha ${\displaystyle X}$ valószínűségi változó, és eloszlása ${\displaystyle P_{X}}$, akkor karakterisztikus függvénye

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} (\exp(\mathrm {i} tX))}$.

Speciális esetek:

• Ha ${\displaystyle P_{X}}$-nek van sűrűségfüggvénye a Riemann-integrál szerint és sűrűségfüggvénye ${\displaystyle f_{X}(x)}$, akkor

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\exp(\mathrm {i} tx)\,\mathrm {d} x}$.

• Ha ${\displaystyle P_{X}}$-nek van valószínűségi függvénye, és valószínűségi függvénye ${\displaystyle p_{X}}$, akkor

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\sum _{k=1}^{\infty }\exp(\mathrm {i} tx_{k})p_{X}(x_{k})}$.

• karakterisztikus függvény - Értelmező szótár (MEK)
• karakterisztikus függvény - Etimológiai szótár (UMIL)
• karakterisztikus függvény - Szótár.net (hu-hu)
• karakterisztikus függvény - DeepL (hu-de)
• karakterisztikus függvény - Яндекс (hu-ru)
• karakterisztikus függvény - Google (hu-en)
• karakterisztikus függvény - Helyesírási szótár (MTA)
• karakterisztikus függvény - Wikidata
• karakterisztikus függvény - Wikipédia (magyar)